Classifique as equações abaixo quanto a ordem e a linearidade.
x^2 y^prime prime+3 x y^prime+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para classificarmos a equação diferencial x^2 y'' + 3x y' + 4y = 0 em termos de ordem e linearidade. Isso significa que precisamos identificar qual é a maior derivada presente na equação e verificar se a equação é linear ou não. Para isso, vamos revisar rapidamente esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem da equação diferencial. A ordem é determinada pela maior derivada que aparece na equação. Olhando para y'', que é a segunda derivada de y em relação a x, vemos que a maior derivada é a de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x) y^(n) + an-1(x) y^(n-1) + dots + a1(x) y' + a0(x) y = g(x)
onde an(x), an-1(x), …, a0(x) são funções de x e g(x) é uma função conhecida. Importante: as potências de y e suas derivadas devem ser de primeira ordem e não podem estar multiplicadas entre si ou dentro de funções não lineares.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa equação:
x^2 y'' + 3x y' + 4y = 0
Observamos que:
  • a2(x) = x^2
  • a1(x) = 3x
  • a0(x) = 4
  • g(x) = 0
Cada termo de y e suas derivadas estão na primeira potência e não há multiplicação entre eles ou funções não lineares. Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação x^2 y'' + 3x y' + 4y = 0 é de segunda ordem e linear.

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