Ex. 7. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
x^5+x-1x^3+1;

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
x^5+x-1x^3+1
Isso envolve dividir o polinômio do numerador pelo do denominador (regra da divisão de polinômios) e depois, se possível, fatorar e cancelar fatores comuns (aqui vale saber que x^3+1 é uma soma de cubos).

Passo 2

Fazemos a divisão de x^5+x-1 por x^3+1.
  1. Dividimos o termo de maior grau: x^5x^3=x^2
  2. Multiplicamos x^2 pelo divisor: x^2cdot(x^3+1)=x^5+x^2
  3. Subtraímos do numerador original: (x^5+x-1)-(x^5+x^2)=-x^2+x-1
Como o grau de -x^2+x-1 é menor que o de x^3+1, a divisão para aqui. Temos
x^5+x-1x^3+1 = x^2 + -x^2+x-1x^3+1

Passo 3

Fatoramos o resto e o divisor para ver se há cancelamento:
- x^2 + x - 1 = -(x^2 - x + 1),
x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)
Então
-x^2+x-1x^3+1 = -(x^2 - x + 1)(x+1)(x^2 - x + 1) = -1x+1
Substituindo na divisão:
x^5+x-1x^3+1 = x^2 - 1x+1

Resposta

boxedx^2 - 1x+1

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