Ex. 7. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(x+h)^3-x^3(x+h)^2-x^2;

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
(x+h)^3-x^3(x+h)^2-x^2
usando técnicas de fatoração (diferença de cubos e diferença de quadrados).

Passo 2

Fatoramos o numerador como diferença de cubos, com a=x+h e b=x:
(x+h)^3-x^3 = l((x+h)-xr)l((x+h)^2+(x+h)x + x^2r) = hl((x+h)^2+x(x+h)+x^2r)
Expandindo o parêntese interno:
(x+h)^2=x^2+2xh+h^2, x(x+h)=x^2+xh,
portanto
(x+h)^2+x(x+h)+x^2 =3x^2+3xh+h^2,
e assim
(x+h)^3-x^3 = hl(3x^2+3xh+h^2r)

Passo 3

Fatoramos o denominador como diferença de quadrados, com os mesmos a e b:
(x+h)^2-x^2 = l((x+h)-xr)l((x+h)+xr) = h,(2x+h)

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração e cancelando o fator comum hneq0, obtemos
(x+h)^3-x^3(x+h)^2-x^2 = hl(3x^2+3xh+h^2r)h,(2x+h) = 3x^2+3xh+h^22x+h

Resposta

3x^2+3xh+h^22x+h

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