Conclua as igualdades usando integração por partes
integral e^y(y^2-2 y+1) d y=e^y(y^2-4 y+5)+C

Passo 1

Temos a integral integral e^y(y^2-2y+1),dy. O conteúdo é integração por partes, em que vamos separar a integral em partes u e dv.

Passo 2

Escolhemos u = y^2-2y+1 e dv = e^y,dy. Então calculamos as derivadas e primitivar: du = (2y-2),dy e v = e^y.
Aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du. Assim,
integral e^y(y^2-2y+1),dy = e^y(y^2-2y+1) - integral e^y(2y-2),dy

Passo 3

Observamos que integral e^y(2y-2),dy = 2integral e^y(y-1),dy. Aplicamos integração por partes de novo com u1=y-1, dv1=e^y,dy, obtendo du1=dy e v1=e^y. Então
integral e^y(y-1),dy = e^y(y-1) - integral e^y,dy = e^y(y-1) - e^y = e^y(y-2)

Passo 4

Logo,
integral e^y(2y-2),dy = 2e^y(y-2)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão inicial:
integral e^y(y^2-2y+1),dy = e^y(y^2-2y+1) - 2e^y(y-2) + C

Passo 6

Por fim, fatoramos e^y e simplificamos o polinômio:
e^yl[(y^2-2y+1) - 2(y-2)r] = e^y(y^2-4y+5)

Resposta

e^y(y^2-4y+5) + C

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