Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, à ordem e à linearidade:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique, quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, a equação
Informações dadas: a equação envolve a função desconhecida
dependente de
, suas derivadas
e
, e os coeficientes multiplicativos
,
e
. Os parâmetros
e
aparecem como constantes (o enunciado os apresenta como símbolos constantes). A equação é escrita com lado direito igual a zero.
Passo 2
O que significa “tipo” aqui e como verificar: o “tipo” normalmente distingue equações diferenciais ordinárias (ODE) de parciais (PDE). Uma ODE envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma PDE envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes. Exemplo de PDE:
que depende de
e
. Na nossa equação aparecem apenas derivadas ordinais em relação a
(
,
), logo é uma equação diferencial ordinária.
Passo 3
Como determinar a ordem: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece. Na equação dada a maior derivada é
, que é de ordem 2. Portanto a equação é de segunda ordem.
Passo 4
Como testar linearidade e homogeneidade: uma equação diferencial é linear se a função incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (isto é, sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências não-1 de
, nem funções não-lineares de
como
,
, etc.). A equação dada é
que é uma soma de termos do tipo (coeficiente)
(derivada de
) — nenhum termo não linear em
aparece. Logo é linear. Além disso, o lado direito é
, portanto é homogênea (não há termo independente de
).
Passo 5
Coeficientes constantes ou variáveis e identificação de um caso especial: observe os coeficientes que multiplicam
: são
,
e
. Eles dependem de
(exceto
que é constante); portanto trata-se de uma equação linear com coeficientes que variam com
. Quando os coeficientes têm a forma
multiplicando respectivamente
(com constantes multiplicativas), a equação pertence à família chamada equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional). A forma geral de Euler–Cauchy é
e aqui
e
. Assim, sob a hipótese de
e
serem constantes, nossa equação é uma equação de Euler–Cauchy.
Passo 6
Pequeno comentário sobre solução (útil para a prova): a técnica padrão para Euler–Cauchy é tentar uma solução do tipo
. Substituindo
obtemos a equação indicial
que simplifica para
As raízes
dessa quadrática determinam a forma das soluções (raízes reais distintas → combinações lineares de
e
; raízes iguais →
e
; raízes complexas → soluções com potências e funções trigonométricas em
). Isso é só para você saber como se resolve na prova, caso precise.
Passo 7
Observação sobre
: se dividirmos a equação por
obtemos
Isso mostra que
é um ponto singular da equação (os coeficientes ficam com
e
). Como
e
são analíticos em
,
é um ponto singular regular — informação útil se a prova pedir comportamento na vizinhança de zero.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária.
Ordem: .
Linearidade: linear e homogênea.
Coeficientes: dependem de (portanto coeficientes variáveis); é uma equação de Euler–Cauchy quando
e
são constantes.
Ponto : ponto singular regular.
Ordem:
Linearidade: linear e homogênea.
Coeficientes: dependem de
Ponto