Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, à ordem e à linearidade:
(b) x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique, quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, a equação
x^{2}y'' + b x y' + c y = 0.
Informações dadas: a equação envolve a função desconhecida y dependente de x, suas derivadas y' e y'', e os coeficientes multiplicativos x^{2}, b x e c. Os parâmetros b e c aparecem como constantes (o enunciado os apresenta como símbolos constantes). A equação é escrita com lado direito igual a zero.

Passo 2

O que significa “tipo” aqui e como verificar: o “tipo” normalmente distingue equações diferenciais ordinárias (ODE) de parciais (PDE). Uma ODE envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma PDE envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes. Exemplo de PDE:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0,
que depende de x e y. Na nossa equação aparecem apenas derivadas ordinais em relação a x ( y', y'' ), logo é uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

Como determinar a ordem: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece. Na equação dada a maior derivada é y'', que é de ordem 2. Portanto a equação é de segunda ordem.

Passo 4

Como testar linearidade e homogeneidade: uma equação diferencial é linear se a função incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (isto é, sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências não-1 de y, nem funções não-lineares de y como \sin(y), e^{y}, etc.). A equação dada é
x^{2}y'' + b x y' + c y = 0,
que é uma soma de termos do tipo (coeficiente) \times (derivada de y) — nenhum termo não linear em y aparece. Logo é linear. Além disso, o lado direito é 0, portanto é homogênea (não há termo independente de y).

Passo 5

Coeficientes constantes ou variáveis e identificação de um caso especial: observe os coeficientes que multiplicam y'',y',y: são x^{2}, b x e c. Eles dependem de x (exceto c que é constante); portanto trata-se de uma equação linear com coeficientes que variam com x. Quando os coeficientes têm a forma x^{2}, x, 1 multiplicando respectivamente y'',y',y (com constantes multiplicativas), a equação pertence à família chamada equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional). A forma geral de Euler–Cauchy é
x^{2}y'' + \alpha x y' + \beta y = 0,
e aqui \alpha=b e \beta=c. Assim, sob a hipótese de b e c serem constantes, nossa equação é uma equação de Euler–Cauchy.

Passo 6

Pequeno comentário sobre solução (útil para a prova): a técnica padrão para Euler–Cauchy é tentar uma solução do tipo y=x^{m}. Substituindo y=x^{m} obtemos a equação indicial
m(m-1) + b m + c = 0,
que simplifica para
m^{2} + (b-1)m + c = 0.
As raízes m dessa quadrática determinam a forma das soluções (raízes reais distintas → combinações lineares de x^{m_{1}} e x^{m_{2}}; raízes iguais → x^{m} e x^{m}\ln x; raízes complexas → soluções com potências e funções trigonométricas em \ln x). Isso é só para você saber como se resolve na prova, caso precise.

Passo 7

Observação sobre x=0: se dividirmos a equação por x^{2} obtemos
y'' + \frac{b}{x} y' + \frac{c}{x^{2}} y = 0.
Isso mostra que x=0 é um ponto singular da equação (os coeficientes ficam com 1/x e 1/x^{2}). Como x\big(\tfrac{b}{x}\big)=b e x^{2}\big(\tfrac{c}{x^{2}}\big)=c são analíticos em x=0, x=0 é um ponto singular regular — informação útil se a prova pedir comportamento na vizinhança de zero.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária.
Ordem: 2.
Linearidade: linear e homogênea.
Coeficientes: dependem de x (portanto coeficientes variáveis); é uma equação de Euler–Cauchy quando b e c são constantes.
Ponto x=0: ponto singular regular.

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