Sobre o Problema de Valor Inicial:
P V I=\left\{\begin{array}{l} x^{2} \frac{d y}{d x}=-y \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
Assinale a(as) alternativa(s) correta(s).
Escolha uma ou mais:
\square a. É uma EDO linear mas não é de variáveis separáveis
\square b. Satisfaz a condições do Teorema de Existência e Unicidade
\square c. Não Satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade
\square d. Tem solução única
\square e. Sua EDO tem solução geral dada por |y|=e^{\frac{1}{x}+k} \operatorname{com} k e y=0.

Passo 1

O enunciado dá o Problema de Valor Inicial
\begin{cases} x^{2}\dfrac{dy}{dx}=-y,\\[4pt] y(0)=1. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  1. A equação diferencial é \;x^{2}\dfrac{dy}{dx}=-y\;.
  2. A condição inicial é \;y(0)=1\;, isto é, o ponto inicial está em x=0.
  3. As alternativas pedem para identificar se a EDO é linear e/ou separável, se satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade, se tem solução única, e se sua solução geral é dada por |y|=e^{\frac{1}{x}+k} e por y=0.]

Passo 2

Vou manipular a EDO para formas mais usuais (válidas quando x\neq0). Dividindo por x^{2} (isto só faz sentido para x\neq0) obtemos
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x^{2}}.
Esta é a forma que vamos usar para resolver para x\neq0. Repare que a expressão do lado direito é f(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}}.

Passo 3

Mostrando que a EDO é separável e resolvendo (passo a passo de separação de variáveis, para você poder repetir na prova):
  1. Escrevemos a equação como
\dfrac{1}{y}\,dy=-\dfrac{1}{x^{2}}\,dx,
válido quando y\neq0 e x\neq0.
2. Integramos ambos os lados:
\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int -\dfrac{1}{x^{2}}\,dx.
  1. As integrais são básicas:
\int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_{1},\qquad \int -\dfrac{1}{x^{2}}\,dx = \dfrac{1}{x} + C_{2}.
  1. Igualando e juntando constantes C=C_{2}-C_{1} chegamos a
\ln|y| = \dfrac{1}{x} + C.
  1. Exponenciando:
|y| = e^{\frac{1}{x}+C} = e^{C}\,e^{\frac{1}{x}}.
  1. Renomeando A=e^{C} (constante positiva) e permitindo sinal, obtemos a família geral
y(x)=C_{0}\,e^{\frac{1}{x}}\quad\text{para }x\neq0,
onde C_{0} é qualquer constante real (incluindo C_{0}=0, que corresponde à solução y\equiv0). Portanto a forma dada na alternativa (e),
|y|=e^{\frac{1}{x}+k}\quad\text{e}\quad y=0,
é equivalente à família y=C_{0}e^{1/x} com C_{0} arbitrária, para x\neq0. Conclusão: a EDO é separável e a alternativa que afirma “não é de variáveis separáveis” é falsa.

Passo 4

Mostrando que a EDO é também linear (mas atenção ao ponto x=0):
  1. A forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem é \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
  2. Para x\neq0, nossa equação pode ser escrita como
\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x^{2}}\,y=0,
logo é linear em y em qualquer intervalo que não contenha x=0. Portanto é verdadeiro que a equação é linear quando consideramos domínios onde x\neq0. Porém essa linearidade não resolve o problema da condição inicial em x=0, pois o coeficiente P(x)=1/x^{2} tem singularidade em x=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Existência e Unicidade (intuição e verificação das hipóteses):
  1. O Teorema de Picard-Lindelöf exige que f(x,y) e \partial f/\partial y sejam contínuas em um retângulo que contenha o ponto inicial (x_{0},y_{0}). Aqui f(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}}.
  2. Observe que f(x,y) não está nem mesmo definida em x=0 (divisão por x^{2}), logo não é contínua numa vizinhança de (0,1). Assim as hipóteses do teorema falham no ponto x=0.
  3. Além disso, podemos tentar verificar diretamente se existe alguma função diferenciável y(x) definida em um intervalo contendo 0 que satisfaça a EDO e a condição inicial. Se tomarmos a equação original e avaliarmos em x=0 teríamos
0^{2}\,y'(0)=-y(0)\quad\Rightarrow\quad 0=-1,
porque y(0)=1. Isso é uma contradição. Portanto não existe função diferenciável que satisfaça a EDO em x=0 e a condição y(0)=1.
4. Conclusão: o problema não satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade no ponto inicial dado, e na verdade não existe solução do PVI com y(0)=1.

Passo 6

Sobre existência/unicidade e as alternativas:
  1. Alternativa (a): “É uma EDO linear mas não é de variáveis separáveis.” — falsa. A equação é linear para x\neq0 e é separável; portanto a parte “não é de variáveis separáveis” está errada.
  2. Alternativa (b): “Satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade.” — falsa, pois f(x,y)=-y/x^{2} não é definida nem contínua em x=0.
  3. Alternativa (c): “Não Satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade.” — verdadeira, conforme explicado no passo anterior.
  4. Alternativa (d): “Tem solução única.” — falsa no contexto do PVI com y(0)=1: na verdade não existe solução que satisfaça essa condição inicial, então não existe solução única.
  5. Alternativa (e): “Sua EDO tem solução geral dada por |y|=e^{\frac{1}{x}+k} com k e y=0.” — verdadeira, desde que você considere soluções em domínios com x\neq0. Essa forma é equivalente a y=C_{0}e^{1/x} e inclui y\equiv0.

Resposta

c
e

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