Resolva usando o método adequado:
\left(y^{2}+1\right) \frac{d y}{d x}=y \operatorname{sec} ^{2} x;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y^{2}+1\bigr)\,\frac{dy}{dx}=y\,\operatorname{sec}^{2}x
e pede para resolvê-la. Trata-se de uma EDO separável, pois podemos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por y^{2}+1 e por y, obtemos
\frac{y^{2}+1}{y}\,dy=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
à esquerda,
\int \frac{y^{2}+1}{y}\,dy =\int \bigl(y + \tfrac{1}{y}\bigr)\,dy =\int y\,dy + \int \frac{1}{y}\,dy =\frac{y^{2}}{2} + \ln\bigl|y\bigr|;
à direita,
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx =\tan x.

Passo 4

Igualando as integrais e incluindo a constante de integração C, chega-mos à solução implícita
\frac{y^{2}}{2} + \ln\bigl|y\bigr| =\tan x + C.

Resposta

\frac{y^{2}}{2} + \ln\bigl|y\bigr| =\tan x + C.

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