Classifique as equações diferenciais abaixo em
ordinária/parcial, linear/não-linear, homogênea/não-homogênea,
e em termos de ordem (primeira, segunda, etc).
y^prime prime+x y^prime=cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa ser classificada de várias formas: se é ordinária ou parcial, linear ou não-linear, homogênea ou não homogênea, e também determinar a sua ordem. Para resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre cada uma dessas classificações e ver como aplicá-las à equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial ordinária (EDO) e uma equação diferencial parcial (EDP). As EDOs envolvem derivadas de uma função em relação a uma única variável independente, enquanto as EDPs têm derivadas em relação a múltiplas variáveis independentes.
Neste exercício, a equação é y'' + x y' = cos(x) . Aqui, temos derivadas de y em relação a x somente. Não há outras variáveis envolvidas. Então, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear ou não-linear. Uma equação diferencial é linear se y e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si.
Na equação y'' + x y' = cos(x) , temos y'' e x y' . Nenhuma dessas funções está elevada a alguma potência além da primeira, e não há produtos entre y e suas derivadas. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Vamos distinguir se a equação é homogênea ou não homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependem apenas da função y e suas derivadas, ou seja, o lado direito da equação é zero.
Aqui, a equação é y'' + x y' = cos(x) . O lado direito não é zero; temos cos(x) . Isso faz com que a equação seja não homogênea.

Passo 5

Por fim, vamos determinar a ordem da equação diferencial. A ordem é dada pela derivada de maior ordem presente na equação.
Na nossa equação y'' + x y' = cos(x) , a derivada de segunda ordem ( y'' ) é a de maior ordem. Então, a equação é de segunda ordem.

Resposta

  • Ordinária
  • Linear
  • Não homogênea
  • De segunda ordem

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