Classifique as equações diferenciais abaixo em
ordinária/parcial, linear/não-linear, homogênea/não-homogênea,
e em termos de ordem (primeira, segunda, etc).
y^prime prime+x^2 y=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + x^2y = x
e pede para classificá-la em ordinária ou parcial, linear ou não-linear, homogênea ou não-homogênea, e indicar sua ordem.

Passo 2

Para decidir se é equação diferencial ordinária ou parcial, verificamos que a função incógnita é y(x) e aparece apenas derivada em relação a uma única variável x. Portanto, trata-se de uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

A ordem da equação é dada pela derivada de maior grau que aparece. Aqui temos y'', que é a derivada de segunda ordem. Logo, é de segunda ordem.

Passo 4

A equação pode ser escrita na forma
y'' + x^2y - x = 0,
onde os termos envolvendo y e suas derivadas aparecem de forma linear (não há y^2, nem yy', nem funções não-lineares de y). Os coeficientes podem depender de x, mas isso não quebra a linearidade. Então a equação é linear.

Passo 5

Uma equação linear é dita homogênea se o termo independente (lado direito) for zero. Aqui temos o termo x sobrevivendo, ou seja, não é zero. Portanto é não-homogênea.

Resposta

Equação diferencial ordinária, linear, não-homogênea, de segunda ordem.

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