Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
3\left(\frac{d^{4} y}{d x{4}}\right){5}+2\left(\frac{d y}{d x}\right){10}+y{7}-y^{5}=x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
3\Bigl(\frac{d^{4}y}{dx^{4}}\Bigr)^{5} \;+\;2\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{10}\;+\;y^{7}\;-\;y^{5}=x
e pede para classificá-la em termos de ordem, grau e linearidade. Para isso, vamos precisar:
  1. Identificar a maior derivada que aparece (determina a ordem).
  2. Verificar o maior expoente dessa derivada depois de eliminar frações ou radicais (determina o grau).
  3. Checar se y e suas derivadas aparecem com potência ou produto (define a linearidade).

Passo 2

Ordem: é o maior número de diferenciações de y em relação a x. Aqui aparece \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}, mas não há derivadas de ordem superior. Logo,
\text{ordem} = 4.

Passo 3

Grau: é o maior expoente da derivada de ordem igual à ordem da equação, desde que a equação seja polinomial em todas as derivadas. O termo de maior ordem é \bigl(\tfrac{d^{4}y}{dx^{4}}\bigr)^{5},
cujo expoente é 5. Não há frações nem raízes em torno dessa derivada, portanto
\text{grau} = 5.

Passo 4

Linearidade: uma equação diferencial é linear se y e todas as suas derivadas aparecem apenas com expoente 1 e não há produtos entre elas nem funções não-lineares de y. Nesta equação, temos potências como \bigl(\tfrac{d^{4}y}{dx^{4}}\bigr)^{5}, \bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{10}, y^{7} etc. Logo, há termos não-lineares em y e em suas derivadas, o que faz dela uma equação \text{não-linear}.ã

Resposta

Ordem =4
Grau =5
Não-linear

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