Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
y y^{\prime}+2 y=1+x

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a equação diferencial
y\,y' + 2y = 1 + x
quanto à ordem, ao grau e à linearidade. Vamos identificar o que cada termo significa e depois aplicar as definições de ordem, grau e linearidade.

Passo 2

Para determinar a ordem, olhamos para o maior índice de derivada que aparece. Na equação só temos y', que é a primeira derivada de y. Logo, a ordem é 1.

Passo 3

Para determinar o grau, devemos escrever a equação de forma polinomial em y', sem radicais ou frações envolvendo y'. Aqui a equação já está polinomial em y':
y\,y' + 2y - (1+x) = 0.
O expoente de y' é 1, portanto o grau é 1.

Passo 4

Para verificar a linearidade, lembramos que uma equação de ordem n é linear se ela puder ser escrita como
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = b(x),
isto é, os coeficientes a_i só podem depender de x, não de y. Na nossa equação, o coeficiente de y' é y, que depende da própria função y. Isso a torna não linear.

Resposta

Ordem: 1
Grau: 1
Linearidade: não linear

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