Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
x y^{(4)}-x y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
x\,y^{(4)} - x\,y'' + 4\,x\,y' - 3\,y = 0
quanto à ordem, grau e linearidade. Vamos identificar o maior derivativo (ordem), o expoente em que este aparece (grau) e verificar se a equação é linear em y e suas derivadas.

Passo 2

Para determinar a ordem, basta olhar para o maior índice de derivada presente. Aqui temos o termo
x\,y^{(4)},
ou seja, aparece y^{(4)}. Logo a ordem da equação é 4.

Passo 3

O grau de uma equação diferencial é o expoente em que aparece a derivada de maior ordem, depois de a equação estar livre de radicais e frações em derivadas. Nesta equação todas as derivadas aparecem com expoente 1 (não há potências, raízes ou produtos entre derivadas). Portanto o grau é 1.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se y e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não são multiplicados entre si, podendo ter coeficientes que dependem de x. Todos os termos são do tipo coeficiente em x vezes y^{(n)} ou y, sem produtos ou potências de y. Além disso o lado direito é zero, caracterizando-a também como homogênea. Assim, a equação é linear homogênea.

Resposta

Ordem: 4
Grau: 1
Linearidade: linear homogênea

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