Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
x \frac{d^{2} t}{d x^{2}}+x t \frac{d t}{d x}=x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
x \,\frac{d^{2}t}{dx^{2}} + x\,t\,\frac{dt}{dx} = x
quanto à ordem, ao grau e à linearidade. Vamos lembrar:
– ordem é o maior número de derivadas de t;
– grau é o expoente da maior derivada, depois de limpar raízes ou frações envolvendo derivadas;
– a equação é linear se t e suas derivadas aparecem só em potência 1 e com coeficientes que dependam apenas de x.

Passo 2

Para encontrar a ordem, observamos o maior número de derivadas de t que aparece. Aqui aparece \frac{d^{2}t}{dx^{2}}, que é uma derivada de segunda ordem.
Logo, a ordem é 2.

Passo 3

Para determinar o grau, verificamos o expoente da derivada de maior ordem, depois de a equação estar livre de raízes ou frações envolvendo derivadas. A maior derivada é \frac{d^{2}t}{dx^{2}} e aparece elevada à potência 1 (não há nem raiz nem potência maior).
Logo, o grau é 1.

Passo 4

Para checar a linearidade, precisamos ver se t e suas derivadas aparecem apenas em potência 1 e com coeficientes que dependam só de x. Mas há o termo x\,t\,\frac{dt}{dx}, em que a derivada \frac{dt}{dx} está multiplicada por t. Isso introduz produto entre t e sua derivada, o que caracteriza uma não-linearidade.
Logo, a equação é não-linear.

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Linearidade: não-linear

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