Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
\frac{\partial^{2} u(x, y)}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2} u(x, y)}{\partial y^{2}}=u(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}} \;+\;\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}} \;=\; u(x,y)
quanto à ordem, grau e linearidade. Esse é um exercício de classificação de equações diferenciais parciais (PDEs).

Passo 2

Para determinar a ordem, basta observar o maior nível de derivada presente. Aqui aparecem derivadas de segunda ordem, nomeadamente \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}.
Portanto, a ordem da equação é 2.

Passo 3

O grau de uma PDE é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está numa forma polinomial em suas derivadas. Nesta equação, as segundas derivadas aparecem apenas à primeira potência (não há potências maiores nem raízes).
Logo, o grau é 1.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se a função incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções conhecidas (aqui constantes) e sem produtos entre as derivadas ou com u elevado a alguma potência diferente de 1.
Na nossa equação, u, \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} aparecem apenas à primeira potência e não há termos não lineares nem produtos entre eles.
Logo, a equação é linear.

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Linearidade: linear

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