Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
(1-x) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+5 y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a equação
(1 - x)\,y'' \;-\; 4\,x\,y' \;+\; 5\,y \;=\;\cos x
quanto à ordem, grau e linearidade. Para isso precisamos lembrar:
– A ordem é a derivada de maior ordem que aparece.
– O grau é o expoente da derivada de maior ordem, depois de eliminarmos radicais e frações.
– A equação é linear se y, y', y'', … aparecem apenas com coeficientes que dependem de x e sem produtos ou funções não lineares de y ou de suas derivadas.

Passo 2

Identificamos a derivada de maior ordem: é y''. Logo, a ordem da equação é 2.

Passo 3

O termo de maior ordem aparece elevado a 1 e não há raízes nem frações envolvendo y''. Portanto, o grau da equação é 1.

Passo 4

Os termos y'', y' e y aparecem apenas multiplicados por funções de x [ (1-x), -4x, 5] e não há produtos entre derivadas nem funções não lineares de y. Além disso, o termo \cos x está isolado no lado direito. Assim, é uma equação diferencial linear (e não homogênea, por causa de \cos x).

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Linearidade: linear (não homogênea)

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