Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
(\operatorname{sen} x y) y^{\prime \prime \prime}+4 x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(\sin(xy))\,y''' + 4x\,y' = 0
e pede a classificação quanto à ordem, grau e linearidade. Para isso, precisamos identificar o maior derivada presente (ordem), o expoente dessa derivada quando a equação estiver em forma polinomial (grau) e verificar se os coeficientes das derivadas dependem apenas de x (linearidade).

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece. Aqui temos até y''', ou seja, a derivada de ordem três.
Portanto, a ordem é 3.

Passo 3

O grau de uma equação diferencial é o expoente da maior derivada, depois que a equação estiver livre de radicais e frações em relação às derivadas. Nesta equação, y''' aparece apenas ao primeiro poder e não há raízes ou frações envolvendo y'''.
Logo, o grau é 1.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita como combinação linear das funções y, y', y'', y''', … com coeficientes que dependem só de x. Aqui o coeficiente de y''' é \sin(xy), que depende de y. Isso quebra a condição de linearidade.
Logo, a equação é não linear.

Resposta

Ordem: 3
Grau: 1
Linearidade: não linear

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