Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
t y^{\prime \prime \prime}+t y^{\prime}-(\operatorname{sen} t) \sqrt{y}=t^{2}-t+2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial quanto à ordem, grau e linearidade. Vamos usar:
– Ordem: é o maior número de derivadas presente.
– Grau: é o expoente da derivada de maior ordem, após tornar a equação polinomial em derivadas (sem frações nem potências fracionárias das derivadas).
– Linearidade: a EDO é linear se y e suas derivadas aparecem apenas de 1ª potência e sem produtos ou funções não-lineares de y ou de suas derivadas; caso contrário é não linear.

Passo 2

Escrevendo a EDO em forma padrão, temos
t\,y^{\prime\prime\prime} \;+\;t\,y^{\prime}\;-\;(\sin t)\,\sqrt{y} \;=\;t^{2}-t+2.
O maior derivado presente é y^{\prime\prime\prime}.
Portanto, a ordem é 3.

Passo 3

Nesta forma a derivada de maior ordem y^{\prime\prime\prime} aparece elevada à 1ª potência, e não há frações nem potências fracionárias de y^{\prime\prime\prime}.
Logo, o grau é 1.

Passo 4

Observamos o termo \sqrt{y}, que é uma função não-linear de y. Isso faz com que a equação não seja linear em y e suas derivadas, pois aparece uma potência fracionária de y.
Portanto, a equação é não linear.

Resposta

Ordem 3, grau 1, não linear.

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