Encontre e classifique todos os pontos críticos da função f(x, y)=y^{2} x-y x^{2}+x y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos da função
f(x,y)=y^{2}x - yx^{2} + xy.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente nulo e, em seguida, teste da Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}x - yx^{2} + xy\bigr) = y^{2} - 2xy + y = y\,(y + 1 - 2x),
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}x - yx^{2} + xy\bigr) = 2xy - x^{2} + x = x\,(2y - x + 1).

Passo 3

Para pontos críticos, impomos
y\,(y + 1 - 2x) = 0, \quad x\,(2y - x + 1) = 0.
Caso 1: y=0 implica x(1 - x)=0, dando (x,y)=(0,0) e (1,0).
Caso 2: y+1-2x=0 y=2x-1; então
x\,(2(2x-1)-x+1)=x\,(3x-1)=0,
levando a x=0 (logo y=-1) e x=\tfrac13 (logo y=-\tfrac13). Assim os pontos são (0,-1) e \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr).

Passo 4

A matriz Hessiana de f é
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[6pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
com
f_{xx} = -2y,\quad f_{yy} = 2x,\quad f_{xy} = f_{yx} = 2y - 2x + 1.
O determinante é D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.]

Passo 5

Avaliamo-s D e f_{xx} em cada ponto:
Em (0,0):
f_{xx}=0,\quad f_{yy}=0,\quad f_{xy}=1 \;\Longrightarrow\; D = 0\cdot0 - 1^2 = -1 < 0
→ ponto de sela.
Em (1,0):
f_{xx}=0,\quad f_{yy}=2,\quad f_{xy}=-1 \;\Longrightarrow\; D = 0\cdot2 - (-1)^2 = -1 < 0
→ ponto de sela.
Em (0,-1):
f_{xx}=2,\quad f_{yy}=0,\quad f_{xy}=-1 \;\Longrightarrow\; D = 2\cdot0 - (-1)^2 = -1 < 0
→ ponto de sela.
Em \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr):
f_{xx}=\tfrac23,\quad f_{yy}=\tfrac23,\quad f_{xy}=-\tfrac13 \;\Longrightarrow\; D = \tfrac23\cdot\tfrac23 - \bigl(-\tfrac13\bigr)^2 = \tfrac{4}{9} - \tfrac{1}{9} = \tfrac{1}{3} > 0
e f_{xx}>0 → mínimo local.

Resposta

(0,0): ponto de sela (1,0): ponto de sela (0,-1): ponto de sela \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr): mínimo local

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