Classifique as equações diferenciais abaixo quanto ao tipo (EDO ou EDP), à ordem, à linearidade e se são homogêneas ou não:
y^{\prime \prime}+\sin (t) y^{\prime}+e^{t} y=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a equação diferencial
y^{\prime\prime} + \sin(t)\,y^{\prime} + e^{t}\,y = t^{2}
quanto a quatro aspectos:
– Tipo (EDO ou EDP)
– Ordem
– Linearidade
– Homogeneidade

Passo 2

Para identificar o tipo, observamos que há apenas a função y de uma variável independente t e suas deriva
des em relação a t. Não existem derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Portanto trata-se de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

A ordem da EDO é o maior expoente de derivada presente. Aqui temos até y^{\prime\prime}, que é a derivada de segunda ordem. Logo é uma EDO de ordem 2.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se a função incógnita y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções conhecidas de t (e sem produtos entre si ou termos não lineares em y, y', etc.). No nosso caso temos
y^{\prime\prime} + \sin(t)\,y^{\prime} + e^{t}\,y
que é soma de coeficientes que dependem só de t, vezes y ou y' ou y''. Não há termos como (y')^{2} nem y\,y'. Portanto a EDO é linear.

Passo 5

Uma EDO linear é homogênea se o membro direito for zero. Aqui o membro direito é t^{2}\neq 0, o que caracteriza uma EDO linear não-homogênea.

Resposta

Tipo: EDO
Ordem: 2
Linearidade: linear
Homogeneidade: não-homogênea

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