Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
;
Passo 1
O enunciado fornece a equação
onde
é a função incógnita e
,
. As incógnitas/elementos relevantes que vêm do enunciado são:
- as derivadas parciais presentes:
e ; - as variáveis independentes:
e ; - os coeficientes multiplicando as derivadas:
para e para ; - o termo em
(termo de ordem zero): ; - o termo do lado direito (fonte):
.
O pedido é “classificar as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação”. Vou apresentar claramente as três classificações pedidas (ver Passos seguintes) e justificar por que a equação cai em cada categoria.
Passo 2
Primeira classificação: identificar se é ODE ou PDE e determinar a ordem.
Definição curta e intuitiva: uma equação diferencial ordinária (ODE) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma equação diferencial parcial (PDE) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes. A ordem de uma EDO ou PDE é a ordem máxima das derivadas que aparecem.
Na equação dada aparecem derivadas parciais em relação a
e a
(
e
), ou seja, há mais de uma variável independente. Portanto trata-se de uma equação diferencial parcial (PDE). As derivadas de maior ordem que aparecem são de primeira ordem (não há
,
ou derivadas de ordem maior). Logo:
- é uma PDE;
- de ordem
.
Exemplo breve para fixar: a equação
é uma PDE de ordem 2; já
é PDE de ordem 1 (análoga à nossa em ordem).
Passo 3
Segunda classificação: linearidade (linear, semilinear, quasilinear, totalmente não linear). Vou explicar o que cada termo significa.
- Uma PDE é linear se ela pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e
dependem apenas das variáveis independentes (aqui
), e a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre
e suas derivadas, sem funções não-lineares de
como
,
, etc.).
- Uma PDE é semilinear quando as derivadas de maior ordem aparecem linearmente, mas termos não-lineares podem aparecer envolvendo apenas
(ou termos de ordem inferior); quasilinear quando aparecem coeficientes que dependem de multiplicando as derivadas de maior ordem; totalmente não linear quando há não-linearidades nas derivadas de maior ordem.
Agora verificar o caso dado: escrevendo a equação na forma padrão,
Os coeficientes
,
e
dependem apenas de
e
(no caso
depende só de
,
é constante) e não dependem de
nem de
-derivadas. Também o lado direito
depende apenas de
. Não há produtos entre
e
nem termos como
etc. Portanto a equação é linear.
Adicionalmente, é conveniente apresentar a forma canônica dividindo por
(que nunca é zero) para deixar o coeficiente de
igual a
:
Isto reforça a visão de equação linear de primeira ordem com coeficientes que dependem de
(logo coeficientes variáveis).
Passo 4
Terceira classificação: homogênea versus não-homogênea; e comentário sobre coeficientes constantes ou variáveis.
- Uma equação linear é homogênea se o termo forçante (lado direito) é zero:
. Caso contrário (se ) é não-homogênea (ou inhomogênea). - Outra forma de classificação útil é verificar se os coeficientes são constantes ou variáveis: coeficientes constantes significam
são constantes numéricas; se dependem de ou então são coeficientes variáveis.
No nosso caso o termo do lado direito é
, que não é identicamente zero; portanto a equação é não-homogênea. Quanto aos coeficientes, o coeficiente de
é
(depende de
), portanto os coeficientes são variáveis (não são todos constantes).
Passo 5
Recapitulação didática (como identificar isso numa prova, passo-a-passo rápido que você pode decorar):
- Procure as variáveis independentes e as derivadas: se há derivadas parciais em mais de uma variável é PDE; a ordem é a maior ordem de derivada que aparece.
- Para linearidade, veja se
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (coeficientes dependendo só de e sem produtos/termos não-lineares envolvendo ). Se sim, é linear; caso contrário classificar como semilinear/quasilinear/não-linear conforme descrito. Uma técnica prática: tente escrever na forma . - Verifique homogeneidade olhando o lado direito: se é zero, homogênea; se não, não-homogênea. Veja também se os coeficientes são constantes (números) ou funções das variáveis (variáveis).
Resposta
PDE de ordem
.
Linear (equação linear de primeira ordem) com coeficientes variáveis (pois o coeficiente depende de
).
Não-homogênea (termo fonte não é zero).
Linear (equação linear de primeira ordem) com coeficientes variáveis (pois o coeficiente
Não-homogênea (termo fonte