Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
e^{t} y_{t}+2 y_{x}-y=x \cos t^{2};

Passo 1

O enunciado fornece a equação
e^{t} y_{t}+2 y_{x}-y=x \cos t^{2},
onde y=y(t,x) é a função incógnita e y_{t}=\dfrac{\partial y}{\partial t}, y_{x}=\dfrac{\partial y}{\partial x}. As incógnitas/elementos relevantes que vêm do enunciado são:
  • as derivadas parciais presentes: y_{t} e y_{x};
  • as variáveis independentes: t e x;
  • os coeficientes multiplicando as derivadas: e^{t} para y_{t} e 2 para y_{x};
  • o termo em y (termo de ordem zero): -y;
  • o termo do lado direito (fonte): x \cos t^{2}.
O pedido é “classificar as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação”. Vou apresentar claramente as três classificações pedidas (ver Passos seguintes) e justificar por que a equação cai em cada categoria.

Passo 2

Primeira classificação: identificar se é ODE ou PDE e determinar a ordem.
Definição curta e intuitiva: uma equação diferencial ordinária (ODE) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma equação diferencial parcial (PDE) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes. A ordem de uma EDO ou PDE é a ordem máxima das derivadas que aparecem.
Na equação dada aparecem derivadas parciais em relação a t e a x ( y_{t} e y_{x}), ou seja, há mais de uma variável independente. Portanto trata-se de uma equação diferencial parcial (PDE). As derivadas de maior ordem que aparecem são de primeira ordem (não há y_{tt}, y_{xx} ou derivadas de ordem maior). Logo:
  • é uma PDE;
  • de ordem 1.
Exemplo breve para fixar: a equação u_{xx}+u_{yy}=0 é uma PDE de ordem 2; já u_{t}+u_{x}=0 é PDE de ordem 1 (análoga à nossa em ordem).

Passo 3

Segunda classificação: linearidade (linear, semilinear, quasilinear, totalmente não linear). Vou explicar o que cada termo significa.
  • Uma PDE é linear se ela pode ser escrita na forma
a_{1}(t,x)\,y_{t}+a_{2}(t,x)\,y_{x}+a_{0}(t,x)\,y=f(t,x),
onde os coeficientes a_{i} e f dependem apenas das variáveis independentes (aqui t,x), e a incógnita y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre y e suas derivadas, sem funções não-lineares de y como y^{2}, \sin y, etc.).
  • Uma PDE é semilinear quando as derivadas de maior ordem aparecem linearmente, mas termos não-lineares podem aparecer envolvendo apenas y (ou termos de ordem inferior); quasilinear quando aparecem coeficientes que dependem de y multiplicando as derivadas de maior ordem; totalmente não linear quando há não-linearidades nas derivadas de maior ordem.
Agora verificar o caso dado: escrevendo a equação na forma padrão,
e^{t}\,y_{t}+2\,y_{x}-1\cdot y = x\cos t^{2}.
Os coeficientes e^{t}, 2 e -1 dependem apenas de t e x (no caso e^{t} depende só de t, 2 é constante) e não dependem de y nem de y-derivadas. Também o lado direito x\cos t^{2} depende apenas de t,x. Não há produtos entre y e y_{t} nem termos como y^{2} etc. Portanto a equação é linear.
Adicionalmente, é conveniente apresentar a forma canônica dividindo por e^{t} (que nunca é zero) para deixar o coeficiente de y_{t} igual a 1:
y_{t}+\frac{2}{e^{t}}\,y_{x}-\frac{1}{e^{t}}\,y=\frac{x\cos t^{2}}{e^{t}}.
Isto reforça a visão de equação linear de primeira ordem com coeficientes que dependem de t (logo coeficientes variáveis).

Passo 4

Terceira classificação: homogênea versus não-homogênea; e comentário sobre coeficientes constantes ou variáveis.
  • Uma equação linear é homogênea se o termo forçante (lado direito) é zero: f(t,x)=0. Caso contrário (se f\neq0) é não-homogênea (ou inhomogênea).
  • Outra forma de classificação útil é verificar se os coeficientes são constantes ou variáveis: coeficientes constantes significam a_{i} são constantes numéricas; se dependem de t ou x então são coeficientes variáveis.
No nosso caso o termo do lado direito é x\cos t^{2}, que não é identicamente zero; portanto a equação é não-homogênea. Quanto aos coeficientes, o coeficiente de y_{t} é e^{t} (depende de t), portanto os coeficientes são variáveis (não são todos constantes).

Passo 5

Recapitulação didática (como identificar isso numa prova, passo-a-passo rápido que você pode decorar):
  1. Procure as variáveis independentes e as derivadas: se há derivadas parciais em mais de uma variável é PDE; a ordem é a maior ordem de derivada que aparece.
  2. Para linearidade, veja se y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (coeficientes dependendo só de t,x e sem produtos/termos não-lineares envolvendo y). Se sim, é linear; caso contrário classificar como semilinear/quasilinear/não-linear conforme descrito. Uma técnica prática: tente escrever na forma a_{1}(t,x)y_{t}+a_{2}(t,x)y_{x}+a_{0}(t,x)y=f(t,x).
  3. Verifique homogeneidade olhando o lado direito: se é zero, homogênea; se não, não-homogênea. Veja também se os coeficientes são constantes (números) ou funções das variáveis (variáveis).

Resposta

PDE de ordem 1.
Linear (equação linear de primeira ordem) com coeficientes variáveis (pois o coeficiente e^{t} depende de t).
Não-homogênea (termo fonte x\cos t^{2} não é zero).

Exercícios relacionados