Classifique as Equações Diferenciais de acordo com os critérios de ordem, linearidade e homogeneidade:
Passo 1
Alright, vamos lá! O enunciado pede para classificar uma equação diferencial de acordo com três critérios: ordem, linearidade e homogeneidade. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses critérios e aplicar passo a passo para classificar a equação corretamente.
Passo 2
1. Determinando a Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é definida pelo maior grau da derivada presente na equação. Olhando para a nossa equação:
A derivada mais alta aqui é
, que é a primeira derivada. Portanto, a ordem da equação é primeira ordem.
Passo 3
2. Verificando a Linearidade da Equação
Uma equação diferencial linear é aquela em que a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Percebemos que o termo
está elevado ao quadrado, o que significa que a função desconhecida
não está na primeira potência. Além disso,
está multiplicando por
, mas como
está ao quadrado, isso torna a equação não linear.
Passo 4
3. Avaliando a Homogeneidade da Equação
A homogeneidade em equações diferenciais pode ter dois significados, dependendo do contexto:
-
Linearmente homogênea: Se a equação pode ser escrita de forma que todos os termos dependam apenas da função desconhecida ou de suas derivadas, sem termos livres (sem termos independentes).
-
Homogênea não linear: Se a equação pode ser expressa de maneira que cada termo é uma função homogênea do mesmo grau.
No nosso caso, a equação:
Não possui termos independentes (como uma função só de
ou uma constante), mas como já decidimos que a equação é não linear, a classificação de homogeneidade se encaixa na ausência de termos livres. Assim, a equação pode ser considerada homogênea no contexto de equações diferenciais.
Resposta
A equação diferencial
é de primeira ordem, não linear e homogênea.