Classifique as Equações Diferenciais de acordo com os critérios de ordem, linearidade e homogeneidade:
d yd x+x y^2=0

Passo 1

Alright, vamos lá! O enunciado pede para classificar uma equação diferencial de acordo com três critérios: ordem, linearidade e homogeneidade. A equação que temos é:
dydx + x y^2 = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses critérios e aplicar passo a passo para classificar a equação corretamente.

Passo 2

1. Determinando a Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é definida pelo maior grau da derivada presente na equação. Olhando para a nossa equação:
dydx + x y^2 = 0
A derivada mais alta aqui é dydx, que é a primeira derivada. Portanto, a ordem da equação é primeira ordem.

Passo 3

2. Verificando a Linearidade da Equação
Uma equação diferencial linear é aquela em que a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
a(x) dydx + b(x) y = c(x)
Comparando com a nossa equação:
dydx + x y^2 = 0
Percebemos que o termo y^2 está elevado ao quadrado, o que significa que a função desconhecida y não está na primeira potência. Além disso, y está multiplicando por x, mas como y está ao quadrado, isso torna a equação não linear.

Passo 4

3. Avaliando a Homogeneidade da Equação
A homogeneidade em equações diferenciais pode ter dois significados, dependendo do contexto:
  • Linearmente homogênea: Se a equação pode ser escrita de forma que todos os termos dependam apenas da função desconhecida ou de suas derivadas, sem termos livres (sem termos independentes).
  • Homogênea não linear: Se a equação pode ser expressa de maneira que cada termo é uma função homogênea do mesmo grau.
No nosso caso, a equação:
dydx + x y^2 = 0
Não possui termos independentes (como uma função só de x ou uma constante), mas como já decidimos que a equação é não linear, a classificação de homogeneidade se encaixa na ausência de termos livres. Assim, a equação pode ser considerada homogênea no contexto de equações diferenciais.

Resposta

A equação diferencial dydx + x y^2 = 0 é de primeira ordem, não linear e homogênea.

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