Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) dizer se a equação é linear ou não-linear; (ii) informar a ordem da equação. Essas são as informações relevantes que temos: a equação contém
,
,
e no lado direito aparece
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO? A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice de derivada da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for
então a equação é de terceira ordem.
Aplicando isso aqui: os termos com derivadas são
(segunda derivada) e
(primeira derivada). A maior derivada presente é
. Logo a ordem da equação é
.
Passo 3
O que significa “linear” no contexto de EDOs de ordem
? Uma EDO é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear — isto é, cada termo é um coeficiente (que pode depender apenas da variável independente, aqui
, ou ser constante) multiplicando
ou uma derivada de
, e não aparecem produtos entre
e suas derivadas, nem potências de
(como
), nem funções não-lineares de
(como
,
), nem termos como
.
A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
onde
e
são funções dadas de
(podem ser constantes).
Passo 4
Vamos comparar a equação dada com a forma geral. Identificando os coeficientes:
Repare que cada termo envolvendo a incógnita é exatamente um coeficiente (função de
ou constante) multiplicando
,
ou
. Não há termos como
,
,
ou
. Todos os coeficientes dependem somente de
(ou são constantes).
Passo 5
Como não existem produtos ou potências da incógnita ou de suas derivadas, nem funções não-lineares de
, a equação satisfaz a definição de equação linear. Além disso, como
, a equação é linear não-homogênea (apenas como comentário didático). Resumo e contraste rápido para fixar: se tivéssemos algo como
ou
, esses seriam exemplos de equações não-lineares porque aparecem produtos ou potências de
ou
Passo 6
). No nosso caso não existe isso, portanto é linear.
Resposta
Linear
Ordem
Ordem