Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(1-x) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+5 y=\cos x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1-x)\,y^{\prime\prime}-4x\,y^{\prime}+5y=\cos x
e pede duas coisas: (i) dizer se a equação é linear ou não-linear; (ii) informar a ordem da equação. Essas são as informações relevantes que temos: a equação contém y^{\prime\prime}, y^{\prime}, y e no lado direito aparece \cos x.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO? A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice de derivada da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for y^{(3)} então a equação é de terceira ordem.
Aplicando isso aqui: os termos com derivadas são y^{\prime\prime} (segunda derivada) e y^{\prime} (primeira derivada). A maior derivada presente é y^{\prime\prime}. Logo a ordem da equação é 2.

Passo 3

O que significa “linear” no contexto de EDOs de ordem n? Uma EDO é linear se a incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear — isto é, cada termo é um coeficiente (que pode depender apenas da variável independente, aqui x, ou ser constante) multiplicando y ou uma derivada de y, e não aparecem produtos entre y e suas derivadas, nem potências de y (como y^2), nem funções não-lineares de y (como \sin y, e^{y}), nem termos como (y')^2.
A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
a_2(x)\,y^{\prime\prime}+a_1(x)\,y^{\prime}+a_0(x)\,y=g(x),
onde a_2(x),a_1(x),a_0(x) e g(x) são funções dadas de x (podem ser constantes).

Passo 4

Vamos comparar a equação dada com a forma geral. Identificando os coeficientes:
a_2(x)=1-x,\qquad a_1(x)=-4x,\qquad a_0(x)=5,\qquad g(x)=\cos x.
Repare que cada termo envolvendo a incógnita é exatamente um coeficiente (função de x ou constante) multiplicando y, y^{\prime} ou y^{\prime\prime}. Não há termos como y^2, (y')^2, y\,y' ou \sin y. Todos os coeficientes dependem somente de x (ou são constantes).

Passo 5

Como não existem produtos ou potências da incógnita ou de suas derivadas, nem funções não-lineares de y, a equação satisfaz a definição de equação linear. Além disso, como g(x)=\cos x\neq 0, a equação é linear não-homogênea (apenas como comentário didático). Resumo e contraste rápido para fixar: se tivéssemos algo como y^{\prime\prime}+(y^{\prime})^2=0 ou y\,y^{\prime}=x, esses seriam exemplos de equações não-lineares porque aparecem produtos ou potências de y ou y

Passo 6

). No nosso caso não existe isso, portanto é linear.

Resposta

Linear
Ordem 2

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