Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede verificar:
- Equação diferencial dada:
. - Função candidata (com
e mencionados no enunciado, mas a função explicitada é): . - Pedido: verificar se essa função é de fato uma solução da equação diferencial, ou seja, calcular
, substituir na expressão e checar se o resultado é .
Passo 2
Calcular
passo a passo.
- A função é soma de uma constante e de um termo exponencial. A derivada da constante
é . - Para derivar
usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Aqui , logo . - Assim:
- Multiplicando os números:
- Portanto:
Passo 3
Substituir
e
no lado esquerdo da equação e simplificar:
Agora expandir e simplificar termo a termo:
Substituindo:
Os termos com
se cancelam:
logo sobra
Isso mostra que, após substituir, o lado esquerdo é igual a
para todo
. Portanto a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita.
Passo 4
Interpretação didática e como resolver similarmente na prova (receita passo a passo):
- Para checar se uma função é solução de uma equação do tipo
(com constantes), calcule da função proposta e faça a soma . Se o resultado for identicamente (para todo ), a função é solução. - Além disso, a solução geral da equação
é a soma da solução particular e da solução da homogênea: - Solução particular constante:
. - Solução da homogênea
é . - Logo a solução geral é
.
- Solução particular constante:
- A função dada é
, que corresponde à solução geral com . Em particular ela satisfaz a condição inicial .
Resposta
Sim. A função satisfaz
para todo
.