Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
\frac{d y}{d t}+20 y=24 ; y=\frac{6}{5}-\frac{6}{5} e^{-20 t}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede verificar:
  • Equação diferencial dada: \dfrac{dy}{dt}+20\,y=24.
  • Função candidata (com c_{1} e c_{2} mencionados no enunciado, mas a função explicitada é): \;y=\dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{5}e^{-20t}.
  • Pedido: verificar se essa função é de fato uma solução da equação diferencial, ou seja, calcular \dfrac{dy}{dt}, substituir na expressão \dfrac{dy}{dt}+20y e checar se o resultado é 24.

Passo 2

Calcular \dfrac{dy}{dt} passo a passo.
  • A função é soma de uma constante e de um termo exponencial. A derivada da constante \dfrac{6}{5} é 0.
  • Para derivar -\dfrac{6}{5}e^{-20t} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}. Aqui u(t)=-20t, logo u'(t)=-20.
  • Assim:
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{6}{5}e^{-20t}\right) = -\frac{6}{5}\cdot(-20)\,e^{-20t}.
  • Multiplicando os números:
-\frac{6}{5}\cdot(-20)=\frac{6\cdot20}{5}=\frac{120}{5}=24.
  • Portanto:
\frac{dy}{dt}=24e^{-20t}.

Passo 3

Substituir \dfrac{dy}{dt} e y no lado esquerdo da equação e simplificar:
\frac{dy}{dt}+20y =24e^{-20t}+20\left(\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20t}\right).
Agora expandir e simplificar termo a termo:
20\cdot\frac{6}{5}= \frac{120}{5}=24, \qquad 20\cdot\left(-\frac{6}{5}e^{-20t}\right)=-24e^{-20t}.
Substituindo:
\frac{dy}{dt}+20y=24e^{-20t}+24-24e^{-20t}.
Os termos com e^{-20t} se cancelam:
24e^{-20t}-24e^{-20t}=0,
logo sobra
\frac{dy}{dt}+20y=24.
Isso mostra que, após substituir, o lado esquerdo é igual a 24 para todo t. Portanto a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita.

Passo 4

Interpretação didática e como resolver similarmente na prova (receita passo a passo):
  • Para checar se uma função é solução de uma equação do tipo \dfrac{dy}{dt}+a y=b (com a,b constantes), calcule \dfrac{dy}{dt} da função proposta e faça a soma \dfrac{dy}{dt}+a y. Se o resultado for b identicamente (para todo t), a função é solução.
  • Além disso, a solução geral da equação \dfrac{dy}{dt}+20y=24 é a soma da solução particular e da solução da homogênea:
    • Solução particular constante: \displaystyle y_p=\frac{24}{20}=\frac{6}{5}.
    • Solução da homogênea \dfrac{dy}{dt}+20y=0 é \displaystyle y_h=C e^{-20t}.
    • Logo a solução geral é \displaystyle y=\frac{6}{5}+C e^{-20t}.
  • A função dada é \displaystyle y=\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20t}, que corresponde à solução geral com C=-\dfrac{6}{5}. Em particular ela satisfaz a condição inicial y(0)=0.

Resposta

Sim. A função satisfaz \dfrac{dy}{dt}+20y=24 para todo t.

Exercícios relacionados