Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
y^{\prime}+2 y=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime}+2y=1+x^{2}
e pede duas coisas: (a) classificar se a equação é linear ou não-linear; (b) informar a ordem da equação.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparecer y^{\prime\prime} (segunda derivada) a ordem é 2; se a maior derivada for y^{\prime} a ordem é 1.
Na equação dada a maior derivada presente é y^{\prime} (a primeira derivada). Portanto a ordem é 1.

Passo 3

O que é uma equação diferencial linear? Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)\,y^{\prime} + a_0(x)\,y = b(x),
onde cada a_k(x) e b(x) é uma função conhecida de x (podem ser constantes) e a incógnita y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por essas funções, sempre na primeira potência. Em outras palavras: não pode aparecer y^2, y\,y', \sin(y), (y')^2 etc. Esses seriam termos não-lineares.

Passo 4

Compare a equação dada com a forma linear acima. Escrevendo explicitamente os coeficientes:
1\cdot y^{\prime} + 2\cdot y = 1+x^{2}.
Aqui temos a_1(x)=1, a_0(x)=2 e b(x)=1+x^{2}. Os termos envolvendo y e y^{\prime} aparecem apenas na primeira potência e não há produtos entre y e suas derivadas nem funções não-lineares de y. Logo a equação é linear. Além disso, como o lado direito b(x)=1+x^{2} é diferente de zero, trata-se de uma equação linear não homogênea (essa observação é útil na hora de escolher método de resolução).

Passo 5

Um contraexemplo para fixar a ideia: a equação
y^{\prime}+y^{2}=0
é não-linear porque aparece o termo y^{2} (a função incógnita elevada ao quadrado). Outro exemplo não-linear é
y^{\prime\prime}+\sin(y)=0,
por conter \sin(y).

Resposta

Linear (equação linear não homogênea).
Ordem 1.

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