Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (a) classificar se a equação é linear ou não-linear; (b) informar a ordem da equação.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparecer
(segunda derivada) a ordem é
; se a maior derivada for
a ordem é
.
Na equação dada a maior derivada presente é
(a primeira derivada). Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que é uma equação diferencial linear? Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde cada
e
é uma função conhecida de
(podem ser constantes) e a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por essas funções, sempre na primeira potência. Em outras palavras: não pode aparecer
,
,
,
etc. Esses seriam termos não-lineares.
Passo 4
Compare a equação dada com a forma linear acima. Escrevendo explicitamente os coeficientes:
Aqui temos
,
e
. Os termos envolvendo
e
aparecem apenas na primeira potência e não há produtos entre
e suas derivadas nem funções não-lineares de
. Logo a equação é linear. Além disso, como o lado direito
é diferente de zero, trata-se de uma equação linear não homogênea (essa observação é útil na hora de escolher método de resolução).
Passo 5
Um contraexemplo para fixar a ideia: a equação
é não-linear porque aparece o termo
(a função incógnita elevada ao quadrado). Outro exemplo não-linear é
por conter
.
Resposta
Linear (equação linear não homogênea).
Ordem .
Ordem