Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes). \frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{y}{x}} ; y=\left(\sqrt{x}+c_{1}\right)^{2}, x>0, c_{1}>0
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
Observação: foi mencionado que c_{1} e c_{2} são constantes, mas na função aparece apenas c_{1}.
Passo 2
Começar calculando a derivada \dfrac{dy}{dx} da função proposta. Para isso é útil usar a regra da cadeia. Explicar a regra da cadeia de forma simples:
Se y=(u(x))^{2}, então a derivada é \dfrac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot u'(x). Aqui u(x)=\sqrt{x}+c_{1}.
Now aplicar isso ao caso:
u(x)=\sqrt{x}+c_{1}.
Passo 3
Calcular u'(x). Lembrando que a derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}} (pois \sqrt{x}=x^{1/2} e a derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}). Assim: