Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{y}{x}} ; y=\left(\sqrt{x}+c_{1}\right)^{2}, x>0, c_{1}>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial: \frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{y}{x}}.
  • Função candidata: y=\left(\sqrt{x}+c_{1}\right)^{2}.
  • Domínio e constantes: \;x>0,\;c_{1}>0.
  • Observação: foi mencionado que c_{1} e c_{2} são constantes, mas na função aparece apenas c_{1}.

Passo 2

Começar calculando a derivada \dfrac{dy}{dx} da função proposta. Para isso é útil usar a regra da cadeia. Explicar a regra da cadeia de forma simples:
  • Se y=(u(x))^{2}, então a derivada é \dfrac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot u'(x). Aqui u(x)=\sqrt{x}+c_{1}.
    Now aplicar isso ao caso:
u(x)=\sqrt{x}+c_{1}.

Passo 3

Calcular u'(x). Lembrando que a derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}} (pois \sqrt{x}=x^{1/2} e a derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}). Assim:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}+c_{1}\big)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+0=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot u'(x)=2\big(\sqrt{x}+c_{1}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Simplificando o fator 2 com \tfrac{1}{2}:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}+c_{1}}{\sqrt{x}}.
Separando a fração:
\frac{dy}{dx}=1+\frac{c_{1}}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora calcular o membro direito da equação diferencial, \sqrt{\dfrac{y}{x}}, substituindo y=\big(\sqrt{x}+c_{1}\big)^{2}:
\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{\frac{\big(\sqrt{x}+c_{1}\big)^{2}}{x}}.
Usar a propriedade \sqrt{\dfrac{A^{2}}{B}}=\dfrac{|A|}{\sqrt{B}}. Assim:
\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{\big|\sqrt{x}+c_{1}\big|}{\sqrt{x}}.
Como \sqrt{x}>0 para x>0 e c_{1}>0 por hipótese, tem-se \big|\sqrt{x}+c_{1}\big|=\sqrt{x}+c_{1}. Portanto:
\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{\sqrt{x}+c_{1}}{\sqrt{x}}=1+\frac{c_{1}}{\sqrt{x}}.

Passo 6

Comparando os resultados obtidos:
\frac{dy}{dx}=1+\frac{c_{1}}{\sqrt{x}} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{\frac{y}{x}}=1+\frac{c_{1}}{\sqrt{x}}.
As duas expressões são iguais para todo x>0 e c_{1}>0.

Resposta

Sim. \;y=\big(\sqrt{x}+c_{1}\big)^{2}\; satisfaz \;\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{\dfrac{y}{x}}\; para x>0 e c_{1}>0.

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