Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Classificar se a equação diferencial dada é linear ou não-linear.
- Dar a ordem da equação.
A equação fornecida é
Informações explícitas que o enunciado dá:
- Aparecem a derivada primeira
e a derivada segunda . - A derivada segunda aparece ao quadrado dentro de uma raiz quadrada: há a expressão
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem é o grau da maior derivada presente na equação. Se a maior derivada que aparece for a
-ésima, diz-se que a equação é de ordem .
Aplicando isso aqui: a maior derivada presente é
(derivada de segunda ordem). Portanto a equação é de ordem
Passo 3
O que é uma equação diferencial linear? (passo-a-passo, sem enrolar)
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde cada
e
são funções apenas da variável independente
(podem ser constantes) e não dependem de
nem das derivadas de
.
- Em palavras simples: linear significa que cada derivada de
aparece apenas multiplicada por uma função de e somada; não se permite potências, produtos entre derivadas, funções não-lineares (como exponenciais) aplicadas às derivadas ou a .
Exemplos rápidos para fixar:
- Linear de 2ª ordem:
. - Não-linear:
(porque aparece ); também é não-linear (por razões que vamos expor).
Passo 4
Aplicando a definição ao caso concreto:
- Reescrevendo a equação como diferença igual a zero:
- Observação crucial: aparece
(a derivada segunda ao quadrado) e em seguida a raiz quadrada aplicada a essa expressão. Isso é exatamente um caso onde uma derivada é entrada de uma função não-linear (potência e raiz). - Pela definição de linearidade, não se pode ter uma derivada elevada ao quadrado nem dentro de uma raiz; em um ODE linear a derivada segunda só pode aparecer multiplicada por uma função de
, linearmente (isto é, algo como ), e não dentro de uma função não-linear. - Assim, a presença de
e da raiz torna a equação não-linear.
Passo 5
Resumo final (curto e claro): a equação é não-linear porque a maior derivada aparece dentro de operações não-lineares (potência e raiz); a ordem é determinada pela maior derivada presente, que é a segunda.
Resposta
Não-linear
Ordem:
Ordem: