Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
\frac{d y}{d x}=\sqrt{1+\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Classificar se a equação diferencial dada é linear ou não-linear.
  • Dar a ordem da equação.
A equação fornecida é
\frac{d y}{d x}=\sqrt{1+\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}}.
Informações explícitas que o enunciado dá:
  • Aparecem a derivada primeira \dfrac{d y}{d x} e a derivada segunda \dfrac{d^{2}y}{d x^{2}}.
  • A derivada segunda aparece ao quadrado dentro de uma raiz quadrada: há a expressão \sqrt{1+\big(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\big)^2}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem é o grau da maior derivada presente na equação. Se a maior derivada que aparece for a n-ésima, diz-se que a equação é de ordem n.
Aplicando isso aqui: a maior derivada presente é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (derivada de segunda ordem). Portanto a equação é de ordem
\text{ordem } = 2.

Passo 3

O que é uma equação diferencial linear? (passo-a-passo, sem enrolar)
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_k(x) e g(x) são funções apenas da variável independente x (podem ser constantes) e não dependem de y nem das derivadas de y.
  • Em palavras simples: linear significa que cada derivada de y aparece apenas multiplicada por uma função de x e somada; não se permite potências, produtos entre derivadas, funções não-lineares (como \sin,\\ \sqrt{\cdot}, exponenciais) aplicadas às derivadas ou a y.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Linear de 2ª ordem: y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x).
  • Não-linear: y'' + (y')^2 = 0 (porque aparece (y')^2); também y' = \sqrt{1+(y'')^2} é não-linear (por razões que vamos expor).

Passo 4

Aplicando a definição ao caso concreto:
  • Reescrevendo a equação como diferença igual a zero:
\frac{dy}{dx} - \sqrt{1+\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^2}=0.
  • Observação crucial: aparece \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^2 (a derivada segunda ao quadrado) e em seguida a raiz quadrada \sqrt{\cdot} aplicada a essa expressão. Isso é exatamente um caso onde uma derivada é entrada de uma função não-linear (potência e raiz).
  • Pela definição de linearidade, não se pode ter uma derivada elevada ao quadrado nem dentro de uma raiz; em um ODE linear a derivada segunda só pode aparecer multiplicada por uma função de x, linearmente (isto é, algo como a_2(x)\,y''), e não dentro de uma função não-linear.
  • Assim, a presença de \big(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\big)^2 e da raiz torna a equação não-linear.

Passo 5

Resumo final (curto e claro): a equação é não-linear porque a maior derivada aparece dentro de operações não-lineares (potência e raiz); a ordem é determinada pela maior derivada presente, que é a segunda.

Resposta

Não-linear
Ordem: 2

Exercícios relacionados