Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: classificar se a equação é linear ou não-linear e informar a ordem da equação. Aqui a variável independente é
e a dependente é
.
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma usual com derivada explícita dividindo por
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Reorganizando para isolar a derivada:
Passo 3
Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Nesta forma aparece apenas
, que é a derivada de primeira ordem. Não há derivadas de ordem superior. Portanto a ordem é
Passo 4
Definição de linearidade (explicação didática): uma equação diferencial é linear quando a dependente
e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência
(isto é, de forma linear) e nunca multiplicadas entre si, e os coeficientes dessas derivadas são funções apenas da variável independente
. Por exemplo, a forma geral de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções de
apenas.
Passo 5
Aplicando a definição ao caso dado: a expressão do lado direito em
contém o termo
, ou seja, a variável dependente aparece elevada ao quadrado. Isso viola a condição de linearidade (aparecer apenas em potência
). Logo a equação não pode ser escrita na forma linear
com
dependendo só de
. Assim a equação é não-linear.
Resposta
Não-linear
Ordem
Ordem