Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
\left(1-y^{2}\right) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(1-y^{2}\right)\,dx+x\,dy=0
e pede duas coisas: classificar se a equação é linear ou não-linear e informar a ordem da equação. Aqui a variável independente é x e a dependente é y=y(x).

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma usual com derivada explícita dividindo por dx. Dividindo ambos os lados por dx obtemos
1-y^{2}+x\frac{dy}{dx}=0.
Reorganizando para isolar a derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x}.

Passo 3

Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Nesta forma aparece apenas \dfrac{dy}{dx}, que é a derivada de primeira ordem. Não há derivadas de ordem superior. Portanto a ordem é
\text{Ordem }=1.

Passo 4

Definição de linearidade (explicação didática): uma equação diferencial é linear quando a dependente y e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência 1 (isto é, de forma linear) e nunca multiplicadas entre si, e os coeficientes dessas derivadas são funções apenas da variável independente x. Por exemplo, a forma geral de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x apenas.

Passo 5

Aplicando a definição ao caso dado: a expressão do lado direito em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}-1}{x} contém o termo y^{2}, ou seja, a variável dependente aparece elevada ao quadrado. Isso viola a condição de linearidade (aparecer apenas em potência 1). Logo a equação não pode ser escrita na forma linear \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P,Q dependendo só de x. Assim a equação é não-linear.

Resposta

Não-linear
Ordem 1

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