Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
x^{2} d y+2 x y d x=0 ; y=-\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos fornece:
  • A equação diferencial em forma diferencial: x^{2}\,dy+2x\,y\,dx=0.
  • Uma função candidata: y=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    O que se pede: verificar se essa função é solução da equação diferencial, ou seja, ao substituir y e dy na equação obtém-se uma identidade verdadeira para os x do domínio. Observação de domínio: a função usa x^{-2}, logo x\neq0.

Passo 2

Primeiro cálculo necessário: obter dy a partir de y.
Escrevendo y com potência:
y = -x^{-2}.
Regra usada (explicação didática): a regra de potência diz que, para qualquer n, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}. Essa regra vale também para expoentes negativos.
Aplicando a regra:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr) = -\bigl(-2\bigr)x^{-3}=2x^{-3}.
Portanto, escrevendo na forma diferencial:
dy=\frac{dy}{dx}\,dx=2x^{-3}\,dx.

Passo 3

Agora substituímos dy e y na equação diferencial x^{2}\,dy+2x\,y\,dx=0.
Substituições (cada termo em detalhe):
x^{2}\,dy = x^{2}\cdot\bigl(2x^{-3}\,dx\bigr)=2x^{2}x^{-3}\,dx=2x^{-1}\,dx,
2x\,y\,dx = 2x\cdot\bigl(-x^{-2}\bigr)\,dx=-2x^{1}x^{-2}\,dx=-2x^{-1}\,dx.
Somando os termos:
x^{2}\,dy+2x\,y\,dx = \bigl(2x^{-1}\,dx\bigr)+\bigl(-2x^{-1}\,dx\bigr)=0.

Passo 4

Interpretação: a soma dos termos dá 0 para todo x\neq0. Isso significa que a igualdade da equação diferencial é satisfeita identicamente quando y=-\dfrac{1}{x^{2}}. Observação extra (didática): a equação original é separável/linear e sua solução geral é y=Cx^{-2}; a função dada corresponde ao caso particular com C=-1.

Resposta

Sim. y=-\dfrac{1}{x^{2}} é solução da equação diferencial para x\neq0.

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