Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado nos fornece:
- A equação diferencial em forma diferencial:
. - Uma função candidata:
.
O que se pede: verificar se essa função é solução da equação diferencial, ou seja, ao substituire na equação obtém-se uma identidade verdadeira para os do domínio. Observação de domínio: a função usa , logo .
Passo 2
Primeiro cálculo necessário: obter
a partir de
.
Escrevendo
com potência:
Regra usada (explicação didática): a regra de potência diz que, para qualquer
,
. Essa regra vale também para expoentes negativos.
Aplicando a regra:
Portanto, escrevendo na forma diferencial:
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação diferencial
.
Substituições (cada termo em detalhe):
Somando os termos:
Passo 4
Interpretação: a soma dos termos dá
para todo
. Isso significa que a igualdade da equação diferencial é satisfeita identicamente quando
. Observação extra (didática): a equação original é separável/linear e sua solução geral é
; a função dada corresponde ao caso particular com
.
Resposta
Sim.
é solução da equação diferencial para
.