Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A equação diferencial na forma diferencial:
- A função candidata (família implícita) dada por
onde
(e também foi mencionado
) são constantes.
O que se pede: verificar se a curva implícita realmente satisfaz a equação diferencial dada.
O que se pede: verificar se a curva implícita
Passo 2
Estratégia simples e direta: derivar implicitamente a relação
em relação a
, obter
e comparar com a expressão equivalente da equação diferencial. Vou explicar cada passo como se fosse pra prova.
Primeiro, lembrar: ao diferenciar uma constante em relação a
obtemos
. E ao diferenciar um produto como
usamos a regra do produto: se
e
, então
.
Aplicando a diferenciação em ambos os lados:
Agora calculamos termo a termo:
- Para
aplicamos produto: - Para
usamos cadeia: - Para a constante:
Somando:
Passo 3
Agora isolamos
. Agrupando os termos que têm
:
Passando
para o outro lado e dividindo por
,
Essa é a derivada implícita obtida da condição
.
Passo 4
Agora transformo a equação diferencial dada para a forma
e comparo: a equação dada
pode ser reescrita, dividindo por
, como
Isolando
obtemos exatamente
que coincide com a derivada obtida por diferenciação implícita no Passo 3. Portanto a família dada satisfaz a equação diferencial (em pontos onde
).
Passo 5
Complemento didático (uma segunda verificação útil em provas): interpretar a equação como forma diferencial exata. Escrevendo
e
, verifica-se
logo
e a forma é exata. Existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Diferenciando essa
em relação a
obtemos
, que deve ser igual a
. Assim
e
(mais uma constante). Logo
e a condição de nível
dá exatamente
. Isso confirma de outra forma que a família implícita é a solução geral (novamente salvo possíveis pontos singulares).
Resposta
Sim.
é uma família de soluções da equação diferencial
.