Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
2 x y d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0 ; x^{2} y+y^{2}=c_{1}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação diferencial na forma diferencial:
2x y\,dx + \bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dy = 0.
  • A função candidata (família implícita) dada por
x^{2}y + y^{2} = c_{1},
onde c_{1} (e também foi mencionado c_{2}) são constantes.
O que se pede: verificar se a curva implícita \,x^{2}y + y^{2} = c_{1}\, realmente satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 2

Estratégia simples e direta: derivar implicitamente a relação \,x^{2}y + y^{2} = c_{1}\, em relação a x, obter \dfrac{dy}{dx} e comparar com a expressão equivalente da equação diferencial. Vou explicar cada passo como se fosse pra prova.
Primeiro, lembrar: ao diferenciar uma constante em relação a x obtemos 0. E ao diferenciar um produto como x^{2}y(x) usamos a regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=y(x), então (uv)'=u'v+uv'.
Aplicando a diferenciação em ambos os lados:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(c_{1}\bigr).
Agora calculamos termo a termo:
  • Para \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) aplicamos produto: \frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot \frac{dy}{dx} = 2x y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
  • Para \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) usamos cadeia: 2y\frac{dy}{dx}.
  • Para a constante: \frac{d}{dx}(c_{1})=0.
Somando:
2x y + x^{2}\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Agrupando os termos que têm \dfrac{dy}{dx}:
\bigl(x^{2}+2y\bigr)\frac{dy}{dx} + 2x y = 0.
Passando 2x y para o outro lado e dividindo por \,x^{2}+2y\,(assumindo que não é zero no ponto considerado)ãé,
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x y}{x^{2}+2y}.
Essa é a derivada implícita obtida da condição x^{2}y+y^{2}=c_{1}.

Passo 4

Agora transformo a equação diferencial dada para a forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots e comparo: a equação dada
2x y\,dx + \bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dy = 0
pode ser reescrita, dividindo por dx, como
2x y + \bigl(x^{2}+2y\bigr)\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos exatamente
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x y}{x^{2}+2y},
que coincide com a derivada obtida por diferenciação implícita no Passo 3. Portanto a família dada satisfaz a equação diferencial (em pontos onde x^{2}+2y\neq0).

Passo 5

Complemento didático (uma segunda verificação útil em provas): interpretar a equação como forma diferencial exata. Escrevendo M(x,y)=2xy e N(x,y)=x^{2}+2y, verifica-se
\frac{\partial M}{\partial y}=2x,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x,
logo \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e a forma é exata. Existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_{x}=M e \Phi_{y}=N. Integramos \Phi_{x}=2xy em relação a x:
\Phi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar. Diferenciando essa \Phi em relação a y obtemos \Phi_{y}=x^{2}+g'(y), que deve ser igual a N=x^{2}+2y. Assim g'(y)=2y e g(y)=y^{2} (mais uma constante). Logo
\Phi(x,y)=x^{2}y + y^{2},
e a condição de nível \Phi(x,y)=c dá exatamente \,x^{2}y + y^{2}=c_{1}\,. Isso confirma de outra forma que a família implícita é a solução geral (novamente salvo possíveis pontos singulares).

Resposta

Sim. x^{2}y + y^{2} = c_{1} é uma família de soluções da equação diferencial 2x y\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0.

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