Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição trigonométrica! O enunciado que temos é:
Esse tipo de integral aparece em cálculo quando temos raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é ótima para integrais com formas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que:
Agora, fazemos a substituição trigonométrica. Queremos que
se ajuste a uma identidade trigonométrica, então vamos definir:
Isso porque $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, e queremos que
se torne
.
Passo 3
Com a substituição
, vamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando passo a passo:
Substituindo tudo de volta na integral:
Passo 4
Agora, precisamos integrar
. Bora usar uma identidade trigonométrica para facilitar:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar da variável
para
. Lembrando que fizemos:
E também:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral resolvida é: