Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
integral x^2raiz2-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição trigonométrica! O enunciado que temos é:
integral x^2raiz2-4 x^2 , dx
Esse tipo de integral aparece em cálculo quando temos raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é ótima para integrais com formas como raiza^2 - b^2x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que:
raiz2 - 4x^2 = raiz2(1 - 2x^2) = raiz2 cdot raiz1 - 2x^2
Agora, fazemos a substituição trigonométrica. Queremos que 1 - 2x^2 se ajuste a uma identidade trigonométrica, então vamos definir:
x = 1raiz2 sin theta
Isso porque $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, e queremos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1 se torne 1 - 2x^2.

Passo 3

Com a substituição x = 1raiz2 sin theta, vamos encontrar dx. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = 1raiz2 cos theta , dtheta
Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral (1raiz2 sin theta)^2raiz2 cdot raiz1 - 2 (1raiz2 sin theta)^2 cdot 1raiz2 cos theta , dtheta
Simplificando passo a passo:
x^2 = 12 sin^2 theta
raiz1 - 2x^2 = raiz1 - 2 cdot 12 sin^2 theta = raiz1 - sin^2 theta = cos theta
raiz2 cdot cos theta
Substituindo tudo de volta na integral:
integral 12 sin^2 thetaraiz2 cdot cos theta cdot 1raiz2 cos theta , dtheta = integral 12 sin^2 theta2 , dtheta = 14 integral sin^2 theta , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos integrar sin^2 theta. Bora usar uma identidade trigonométrica para facilitar:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Então, a integral fica:
14 integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 18 integral (1 - cos(2theta)) , dtheta
Integrando termo a termo:
18 ( theta - sin(2theta)2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar da variável theta para x. Lembrando que fizemos:
x = 1raiz2 sin theta implies sin theta = raiz2x
theta = arcsin(raiz2x)
E também:
sin(2theta) = 2 sin theta cos theta = 2 cdot raiz2x cdot cos theta
cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - 2x^2
Substituindo de volta:
18 ( arcsin(raiz2x) - 2 cdot raiz2x cdot raiz1 - 2x^22 ) + C = 18 arcsin(raiz2x) - raiz28 x raiz1 - 2x^2 + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral x^2raiz2-4 x^2 , dx = 18 arcsin(raiz2x) - raiz28 x raiz1 - 2x^2 + C

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