Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
integral sen(x) cos (x)1+sen^2(x) d x

Passo 1

Na integral integral sin(x)cos(x)1+sin^2(x),dx queremos usar o método da substituição de variável. Esse método é baseado em identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece também no integrando. Aqui percebemos a presença de sin(x) e de sua derivada cos(x) no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição u = sin(x). Assim temos du = cos(x),dx. Substituindo na integral, obtemos
integral sin(x)cos(x)1+sin^2(x),dx = integral u1+u^2,du

Passo 3

Para calcular integral u1+u^2,du, notamos que a derivada de 1 + u^2 é 2u. Logo podemos escrever
integral u1+u^2,du = 12 integral 2u1+u^2,du = 12lnl(1+u^2r) + C
Voltando à variável original x, substituímos u = sin(x) para obter a forma final.

Passo 4

Fazendo a substituição de volta, chegamos à resposta em função de x.

Resposta

tfrac12lnl(1+sin^2(x)r) + C

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