Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
integral 1x raiz25-x^2 d x nesta, use o resultado integral cossec(theta) d theta=ln (cossec(theta)+cotg(theta))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral $ \int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} , dx $ usando o método da substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é muito útil quando temos radicais envolvendo expressões quadráticas, como $ \sqrt{25 - x^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica, especialmente identidades envolvendo senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Vamos definir:
x = 5 sin(theta)
Por que 5? Porque $ 25 = 5^{2} $, e isso vai ajudar a simplificar o radical. Agora, vamos calcular $ dx $:
25 = 5^2

Passo 3

Substituindo $ x $ e $ dx $ na integral original:
x
Simplificando o radical:
dx

Passo 4

Agora, substituindo de volta na integral:
integral 15 sin(theta) cdot 5 cos(theta) cdot 5 cos(theta) , dtheta = integral 125 sin(theta) cos(theta) cdot 5 cos(theta) , dtheta
As expressões $ 5 \cos(\theta) $ se cancelam:
5 cos(theta)

Passo 5

Sabemos da fórmula que:
integral csc(theta) , dtheta = ln | csc(theta) + cot(theta) | + C
Aplicando isso na nossa integral:
15 ln | csc(theta) + cot(theta) | + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original $ x $. Lembrando que:
x
E:
x = 5 sin(theta) Rightarrow sin(theta) = x5
Também temos:
cos(theta) = raiz1 - sin^2(theta) = raiz25 - x^25
cot(theta) = cos(theta)sin(theta) = raiz25 - x^2x

Passo 7

Substituindo tudo de volta na expressão logarítmica:
15 ln | 5x + raiz25 - x^2x | + C = 15 ln | 5 + raiz25 - x^2x | + C
Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro do logaritmo:
15 ln |5 + raiz25 - x^2| - 15 ln |x| + C

Resposta

A integral $ \int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} , dx $ resolve-se como:
integral 1x raiz25 - x^2 , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

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