Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral $ \int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} , dx $ usando o método da substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é muito útil quando temos radicais envolvendo expressões quadráticas, como $ \sqrt{25 - x^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica, especialmente identidades envolvendo senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Vamos definir:
Por que 5? Porque $ 25 = 5^{2} $, e isso vai ajudar a simplificar o radical. Agora, vamos calcular $ dx $:
Passo 3
Substituindo $ x $ e $ dx $ na integral original:
Simplificando o radical:
Passo 4
Agora, substituindo de volta na integral:
As expressões $ 5 \cos(\theta) $ se cancelam:
Passo 5
Sabemos da fórmula que:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original $ x $. Lembrando que:
E:
Também temos:
Passo 7
Substituindo tudo de volta na expressão logarítmica:
Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro do logaritmo:
Resposta
A integral $ \int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} , dx $ resolve-se como:
onde $ C $ é a constante de integração.