Classifique as equações diferenciais a seguir quanto à:
- ordem
- linearidade
- homogeneidade
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas são claras:
- Determinar a ordem da equação.
- Dizer se a equação é linear ou não.
- Dizer se a equação é homogênea ou não.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é a maior derivada de
que aparece na equação. Aqui a derivada mais alta que aparece é
(primeira derivada). Não há
nem derivadas de ordem superior. Portanto a equação é de ordem
Passo 3
O que é uma equação diferencial linear (na incógnita
)? Para primeira ordem, a forma geral de uma equação linear é
onde
e
são funções (ou constantes) que multiplicam
e
— note que
e
aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre si, sem potências, sem funções não-lineares de
). Na equação dada podemos identificar
Não há termos como
,
,
etc. Logo a equação é linear. Observação extra:
e
são constantes, então é uma equação linear de coeficientes constantes.
Passo 4
O que significa ser homogênea? Uma equação linear é dita homogênea quando o termo do lado direito é zero, isto é, quando
. A equação associada homogênea correspondente seria
No nosso caso o termo à direita é
, que não é identicamente zero (
para todo
). Portanto a equação dada NÃO é homogênea — é uma equação linear não homogênea (também chamada inhomogênea).
Passo 5
Resumo das razões:
- Ordem: porque a maior derivada presente é
, é de ordem . - Linearidade: porque
e aparecem apenas de forma linear e podem ser colocados na forma , logo é linear; e como são constantes, é de coeficientes constantes. - Homogeneidade: como
, é não homogênea.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (equação linear de primeira ordem, coeficientes constantes)
Homogeneidade: não homogênea (inhomogênea), pois o termo fonte é
Linearidade: linear (equação linear de primeira ordem, coeficientes constantes)
Homogeneidade: não homogênea (inhomogênea), pois o termo fonte é