Classifique as equações diferenciais a seguir quanto à:
  • ordem
  • linearidade
  • homogeneidade
    y^{\prime}+3 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' + 3y = e^{x}.
As perguntas são claras:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Dizer se a equação é linear ou não.
  • Dizer se a equação é homogênea ou não.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é a maior derivada de y que aparece na equação. Aqui a derivada mais alta que aparece é y' (primeira derivada). Não há y'' nem derivadas de ordem superior. Portanto a equação é de ordem
\text{ordem} = 1.

Passo 3

O que é uma equação diferencial linear (na incógnita y)? Para primeira ordem, a forma geral de uma equação linear é
a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde a_1(x) e a_0(x) são funções (ou constantes) que multiplicam y' e y — note que y e y' aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre si, sem potências, sem funções não-lineares de y). Na equação dada podemos identificar
a_1(x)=1,\qquad a_0(x)=3,\qquad g(x)=e^{x}.
Não há termos como y^2, \sin(y), y\,y' etc. Logo a equação é linear. Observação extra: a_1 e a_0 são constantes, então é uma equação linear de coeficientes constantes.

Passo 4

O que significa ser homogênea? Uma equação linear é dita homogênea quando o termo do lado direito é zero, isto é, quando g(x)=0. A equação associada homogênea correspondente seria
y' + 3y = 0.
No nosso caso o termo à direita é g(x)=e^{x}, que não é identicamente zero ( e^{x}\neq 0 para todo x). Portanto a equação dada NÃO é homogênea — é uma equação linear não homogênea (também chamada inhomogênea).

Passo 5

Resumo das razões:
  • Ordem: porque a maior derivada presente é y', é de ordem \,1.
  • Linearidade: porque y e y' aparecem apenas de forma linear e podem ser colocados na forma a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x), logo é linear; e como a_0,a_1 são constantes, é de coeficientes constantes.
  • Homogeneidade: como g(x)=e^{x}\neq 0, é não homogênea.

Resposta

Ordem: \,1
Linearidade: linear (equação linear de primeira ordem, coeficientes constantes)
Homogeneidade: não homogênea (inhomogênea), pois o termo fonte é \,e^{x}\neq 0

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