Classifique as equações diferenciais a seguir e dê as soluções gerais:
y^{\prime}=x y-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x\,y - x
É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear não homogênea. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos
y' - x\,y = -\,x,
de onde identificamos
p(x) = -\,x \quad\text{e}\quad q(x) = -\,x.
O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\tfrac{x^2}{2}\bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,y' \;-\; x\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,y = -\,x\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}.
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto \mu(x)\,y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}\bigr) = -\,x\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-\tfrac{x^2}{2}} = \int -\,x\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,dx + C.
Fazendo a substituição u = -\tfrac{x^2}{2}, de onde du = -x\,dx, vem
\int -\,x\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} = e^{-\tfrac{x^2}{2}}.
Logo
y\,e^{-\tfrac{x^2}{2}} = e^{-\tfrac{x^2}{2}} + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = 1 + C\,e^{\tfrac{x^2}{2}}.

Resposta

\boxed{y(x) = 1 + C\,e^{\tfrac{x^2}{2}},}
onde C é constante arbitrária.

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