Classifique as equações diferenciais a seguir e dê as soluções gerais: y^{\prime}=x y^{2}-x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x\,y^{2} - x
Queremos classificar o tipo de equação e achar a solução geral. Para isso vamos verificar se há soluções constantes e depois resolveremos usando separação de variáveis.
Passo 2
Buscamos soluções constantes y(x)=y_{0}. Nesse caso y'=0 e a equação vira
0 = x\,(y_{0}^{2}-1)\quad\forall x,
logo é preciso y_{0}^{2}-1=0, ou seja
y_{0} = 1\quad\text{ou}\quad y_{0}=-1.
São duas soluções singulares constantes.
Passo 3
Para encontrar soluções não constantes, note que podemos reescrever
\frac{dy}{dx} = x\,(y^{2}-1)
e separar variáveis:
\frac{dy}{y^{2}-1} = x\,dx.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Primeiro usamos frações parciais em