Classifique as equações diferenciais a seguir e dê as soluções gerais:
y^{\prime}=x y^{2}-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x\,y^{2} - x
Queremos classificar o tipo de equação e achar a solução geral. Para isso vamos verificar se há soluções constantes e depois resolveremos usando separação de variáveis.

Passo 2

Buscamos soluções constantes y(x)=y_{0}. Nesse caso y'=0 e a equação vira
0 = x\,(y_{0}^{2}-1)\quad\forall x,
logo é preciso y_{0}^{2}-1=0, ou seja
y_{0} = 1\quad\text{ou}\quad y_{0}=-1.
São duas soluções singulares constantes.

Passo 3

Para encontrar soluções não constantes, note que podemos reescrever
\frac{dy}{dx} = x\,(y^{2}-1)
e separar variáveis:
\frac{dy}{y^{2}-1} = x\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Primeiro usamos frações parciais em
\int \frac{dy}{y^{2}-1} = \int \Bigl(\frac{1}{2(y-1)} - \frac{1}{2(y+1)}\Bigr)\,dy = \frac12\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| + C_{1}.
Do lado direito
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_{2}.
Igualando e absorvendo constantes obtemos
\frac12\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| = \frac{x^{2}}{2} + C
onde C=C_{2}-C_{1}.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 2 e exponenciamos:
\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| = x^{2}+2C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| = K\,e^{x^{2}},
com K=e^{2C}>0. Posicionando o sinal em K geral, escrevemos
\frac{y-1}{y+1} = K\,e^{x^{2}},
onde agora K\in\mathbb{R}.

Passo 6

Isolamos y:
y - 1 = K\,e^{x^{2}}\,\bigl(y+1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y\,(1 - K\,e^{x^{2}}) = 1 + K\,e^{x^{2}}
\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1 + K\,e^{x^{2}}}{1 - K\,e^{x^{2}}},\quad K\in\mathbb{R}.

Resposta

A equação é de primeira ordem, não linear mas separável.
As soluções constantes são
y(x) = 1 \quad\text{e}\quad y(x) = -1.
A família de soluções não constantes é
y(x) = \frac{1 + K\,e^{x^{2}}}{1 - K\,e^{x^{2}}},\quad K\in\mathbb{R}.

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