Q. 2 Classifique a equação a seguir e dê a solução geral de
y^{\prime}=-y+\frac{1}{y}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = -y + \frac{1}{y}
e pede a classificação do tipo de equação e sua solução geral. Vamos reconhecer o tipo (autônoma e separável) e aplicar separação de variáveis.
Passo 2
Reescrevendo o membro direito, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y^{2}}{y}.
Como o termo à direita depende apenas de y, trata-se de uma equação diferencial autônoma. Além disso, podemos separar as variáveis em função de y e x, o que caracteriza uma equação separável.
Passo 3
Separamos as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e o dx do outro:
\frac{y}{1 - y^{2}}\,dy = dx.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
\int \frac{y}{1 - y^{2}}\,dy = \int 1\,dx.
Para a integral em y, use u = 1 - y^{2}, de onde du = -2y\,dy. Assim,