Q. 2 Classifique a equação a seguir e dê a solução geral de
y^{\prime}=-y+\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = -y + \frac{1}{y}
e pede a classificação do tipo de equação e sua solução geral. Vamos reconhecer o tipo (autônoma e separável) e aplicar separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo o membro direito, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y^{2}}{y}.
Como o termo à direita depende apenas de y, trata-se de uma equação diferencial autônoma. Além disso, podemos separar as variáveis em função de y e x, o que caracteriza uma equação separável.

Passo 3

Separamos as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e o dx do outro:
\frac{y}{1 - y^{2}}\,dy = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y}{1 - y^{2}}\,dy = \int 1\,dx.
Para a integral em y, use u = 1 - y^{2}, de onde du = -2y\,dy. Assim,
\int \frac{y}{1 - y^{2}}\,dy = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C_{1} = -\tfrac{1}{2}\ln\lvert 1 - y^{2}\rvert + C_{1}.
No lado direito,
\int 1\,dx = x + C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas expressões e juntando constantes em C, obtemos
-\frac{1}{2}\ln\bigl\lvert 1 - y^{2}\bigr\rvert = x + C.

Passo 6

Multiplicando por -2 e exponenciando, chega-mos a
\ln\bigl\lvert 1 - y^{2}\bigr\rvert = -2x + C' \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert 1 - y^{2}\bigr\rvert = K e^{-2x},
onde K = e^{C'} é constante arbitrária. Logo
1 - y^{2} = K e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 1 - K e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \pm\sqrt{\,1 - K e^{-2x}\,}.

Resposta

A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, autonôma e separável.
A solução geral é
y(x) = \pm\sqrt{\,1 - K e^{-2x}\,},
onde K é constante arbitrária.

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