Q. 3 Determine o aspecto qualitativo das soluções de
Passo 1
O enunciado pede a análise qualitativa das soluções da equação diferencial
O conteúdo é de equações autônomas em uma variável, onde identificamos pontos de equilíbrio (raízes de
) e estudamos o sinal de
em cada região para classificar a estabilidade.
Passo 2
Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
Como
só em
e
em
, temos exatamente dois equilíbrios:
Passo 3
Analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado por
e
. Note que
para
, então o sinal de
depende apenas de
:
- Para
: ⇒ ⇒ . - Para
: ⇒ ⇒ . - Para
: e ⇒ .
Assim, em cada região temos
Passo 4
Usando o diagrama de fase, classificamos a estabilidade:
- Em
(raiz simples) o sinal de muda de para ao atravessar , logo é um ponto de equilíbrio estável (atrator). - Em
(raiz de multiplicidade par) o sinal de é tanto à esquerda como à direita, então as soluções que começam acima de decrescem para , mas as que vêm de baixo não são “capturadas” por . Assim, é um ponto semiestável (atrai por um lado apenas).
Resposta
– Pontos de equilíbrio:
(estável),
(semiestável).
– Para : a solução cresce e tende a
.
– Para : a solução decresce e tende a
.
– Para : a solução decresce e tende a
.
– Se ou
: a solução é constante.
– Para
– Para
– Para
– Se