Q. 3 Determine o aspecto qualitativo das soluções de
y^{\prime}=-(y-1) \cdot(y-2)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a análise qualitativa das soluções da equação diferencial
y' = -\,(y-1)\,(y-2)^{2}.
O conteúdo é de equações autônomas em uma variável, onde identificamos pontos de equilíbrio (raízes de y'=0) e estudamos o sinal de y' em cada região para classificar a estabilidade.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
-\,(y-1)\,(y-2)^{2} = 0.
Como (y-2)^{2}=0 só em y=2 e (y-1)=0 em y=1, temos exatamente dois equilíbrios:
y=1 \quad\text{e}\quad y=2.

Passo 3

Analisamos o sinal de y' em cada intervalo determinado por 1 e 2. Note que (y-2)^{2}>0 para y\neq2, então o sinal de y' depende apenas de -(y-1):
  • Para y<1: (y-1)<0 (y-1)(y-2)^{2}<0 y'>0.
  • Para 1<y<2: (y-1)>0 (y-1)(y-2)^{2}>0 y'<0.
  • Para y>2: (y-1)>0 e (y-2)^{2}>0 y'<0.
Assim, em cada região temos
\begin{cases} y'<0, & y\in(1,2)\cup(2,\infty),\\\ y'>0, & y\in(-\infty,1). \end{cases}

Passo 4

Usando o diagrama de fase, classificamos a estabilidade:
  • Em y=1 (raiz simples) o sinal de y' muda de + para - ao atravessar 1, logo y=1 é um ponto de equilíbrio estável (atrator).
  • Em y=2 (raiz de multiplicidade par) o sinal de y' é - tanto à esquerda como à direita, então as soluções que começam acima de 2 decrescem para 2, mas as que vêm de baixo não são “capturadas” por 2. Assim, y=2 é um ponto semiestável (atrai por um lado apenas).

Resposta

– Pontos de equilíbrio: y=1 (estável), y=2 (semie​stável).
– Para y(0)<1: a solução cresce e tende a 1.
– Para 1<y(0)<2: a solução decresce e tende a 1.
– Para y(0)>2: a solução decresce e tende a 2.
– Se y(0)=1 ou y(0)=2: a solução é constante.

Exercícios relacionados