Classifique as equaçōes diferencias abaixo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
3 x^2 y^(4)+(y^prime)^6=1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
3x^2 y^(4) + (y')^6 = 1
Precisamos classificar essa equação em três aspectos:
  1. Tipo: se é ordinária ou parcial.
  2. Ordem: qual é a ordem mais alta da derivada presente.
  3. Linearidade: se a equação é linear ou não linear.
Para isso, vamos analisar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Tipo da Equação
Primeiro, precisamos verificar se a equação diferencial é ordinária ou parcial.
  • Equação Diferencial Ordinária (EDO): envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente.
  • Equação Diferencial Parcial (EDP): envolve derivadas de uma função em relação a múltiplas variáveis independentes.
Na nossa equação:
3x^2 y^(4) + (y')^6 = 1
Só temos derivadas em relação a x (implícito no uso de y' que é dydx ). Portanto, é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

Ordem da Equação
A ordem da equação diferencial é determinada pela derivada de maior ordem presente na equação.
Na nossa equação:
3x^2 y^(4) + (y')^6 = 1
Temos duas derivadas:
  • y' que é a primeira derivada.
  • y^(4) que é a quarta derivada.
A derivada de maior ordem é y^(4) , que é de ordem 4. Assim, a equação é de quarta ordem.

Passo 4

Linearidade da Equação
Para verificar a linearidade, precisamos ver se a equação pode ser escrita na forma linear:
an(x) y^(n) + an-1(x) y^(n-1) + dots + a1(x) y' + a0(x) y = g(x)
onde ai(x) são funções das variáveis independentes e g(x) é uma função conhecida.
Observando a nossa equação:
3x^2 y^(4) + (y')^6 = 1
Perceba que o termo (y')^6 envolve a derivada y' elevada à sexta potência. Isso torna a equação não linear, pois em uma equação linear, as derivadas de y devem aparecer apenas na primeira potência e multiplicadas por funções das variáveis independentes.

Resposta

A equação diferencial 3x^2 y^(4) + (y')^6 = 1 é uma Equação Diferencial Ordinária, de quarta ordem e não linear.

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