Classifique as equaçōes diferencias abaixo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
x d^3 yd x^3-2(d yd x)^4+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para classificar em três aspectos: tipo, ordem e linearidade. A equação é:
x d^3 yd x^3 - 2(d yd x)^4 + y = 0
Vamos precisar entender o que significa cada um desses aspectos para classificar a equação direitinho.

Passo 2

Tipo de Equação Diferencial
Primeiro, vamos ver o tipo da equação. Isso nos diz se a equação é ordinária ou parcial.
  • Equação Diferencial Ordinária (EDO): envolve derivadas de uma função em relação a apenas uma variável independente.
  • Equação Diferencial Parcial (EDP): envolve derivadas parciais de uma função em relação a várias variáveis independentes.
Na nossa equação, só temos derivadas em relação a $ x $. Então, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

Ordem da Equação Diferencial
Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é a maior derivada presente na equação.
Olha só:
  • Temos $ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} $ que é a terceira derivada de $ y $ em relação a $ x $.
  • Também temos $ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{4} $, que é a primeira derivada elevada à quarta potência.
A maior derivada presente é a terceira derivada, então a ordem da equação é 3.

Passo 4

Linearidade da Equação Diferencial
Por último, vamos verificar se a equação é linear ou não linear.
Uma equação diferencial é linear se cada termo envolvendo a função $ y $ ou suas derivadas aparece apenas na primeira potência e não são multiplicados entre si.
Na nossa equação:
  • $ x \frac{d^{3} y}{d x^{3}} $ é linear porque a derivada está na primeira potência.
  • $ y $ também está na primeira potência.
  • Mas $ -2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4} $ é não linear porque a derivada $ \frac{d y}{d x} $ está elevada à quarta potência.
Como temos um termo não linear, a equação não é linear.

Resposta

A equação diferencial $ x \frac{d^{3} y}{d x^{3}} - 2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4} + y = 0 $ é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de ordem 3 e não linear.

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