Encontre uma solução de equilfbrio para as E.D.O.s
y^prime=8 x y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar uma solução de equilíbrio para a equação diferencial ordinária (E.D.O.) y' = 8xy. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre como encontrar soluções que não mudam com o tempo, ou seja, constantes. Vamos precisar descobrir para quais valores de y a derivada y' é zero, indicando esse equilíbrio.

Passo 2

Para encontrar soluções de equilíbrio, a gente iguala a derivada a zero porque, no equilíbrio, a função não está variando. Então, temos:
0 = 8xy

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação pra encontrar os valores de y. Sabemos que se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles precisa ser zero. Então, temos duas possibilidades:
  1. 8x = 0
  2. y = 0

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
  1. Se 8x = 0, então x = 0. Mas isso só vale para um ponto específico, x = 0, e não para todo o intervalo. Como queremos uma solução válida para qualquer x, essa opção não serve.
  2. Se y = 0, independentemente do valor de x, a equação 0 = 8x cdot 0 sempre será verdadeira.

Passo 5

Portanto, a única solução que funciona para qualquer valor de x é y = 0. Isso significa que a função está “em equilíbrio” porque não muda, independente de x.

Resposta

A solução de equilíbrio para a E.D.O. y' = 8xy é y = 0.

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