Encontre uma solução de equilfbrio para as E.D.O.s
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar uma solução de equilíbrio para a equação diferencial ordinária (E.D.O.)
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre como encontrar soluções que não mudam com o tempo, ou seja, constantes. Vamos precisar descobrir para quais valores de
a derivada
é zero, indicando esse equilíbrio.
Passo 2
Para encontrar soluções de equilíbrio, a gente iguala a derivada a zero porque, no equilíbrio, a função não está variando. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação pra encontrar os valores de
. Sabemos que se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles precisa ser zero. Então, temos duas possibilidades:
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
- Se
, então . Mas isso só vale para um ponto específico, , e não para todo o intervalo. Como queremos uma solução válida para qualquer , essa opção não serve. - Se
, independentemente do valor de , a equação sempre será verdadeira.
Passo 5
Portanto, a única solução que funciona para qualquer valor de
é
. Isso significa que a função está “em equilíbrio” porque não muda, independente de
.
Resposta
A solução de equilíbrio para a E.D.O.
é
.