Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
y^prime prime prime-2 y^prime prime-y^prime x+2 y=e^3 x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial não homogênea de terceira ordem
y'''-2y''-y'+2y = e^3x
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo necessário inclui: (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada; (ii) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação característica
r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0
Fatorando, obtemos
(r-1)(r+1)(r-2)=0
com raízes r=1,-1,2. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^2x

Passo 3

Pelo método da variação dos parâmetros, propomos
yp = u1(x)e^x + u2(x)e^-x + u3(x)e^2x,
e impomos as condições de ortogonalidade para reduzir as derivadas de ui:
u1'e^x + u2'e^-x + u3'e^2x = 0, u1'e^x - u2'e^-x + 2,u3'e^2x = 0, u1'e^x + u2'e^-x + 4,u3'e^2x = e^3x

Passo 4

Resolvendo esse sistema linear por eliminação, encontramos
u3' = tfrac13,e^x, u2' = tfrac16,e^4x, u1' = -tfrac12,e^2x

Passo 5

Integramos em x:
u1 = -tfrac14,e^2x, u2 = tfrac124,e^4x, u3 = tfrac13,e^x
Substituindo em yp:
yp =-tfrac14e^2x,e^x+tfrac124e^4x,e^-x+tfrac13e^x,e^2x =tfrac18,e^3x
Portanto a solução geral da não homogênea é
y = yh + yp = C1e^x + C2e^-x + C3e^2x + tfrac18e^3x

Resposta

y = C1e^x + C2e^-x + C3e^2x + dfrac18,e^3x

Exercícios relacionados