Investigue a estabilidade de todos os pontos de equilibrio do sistema
& dotx=y & doty=-6 x-y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar todos os pontos de equilíbrio do sistema
dot x = y, dot y = -6x - y + y^2
e investigar a estabilidade de cada um. O conteúdo que vamos usar é: 1) encontrar pontos de equilíbrio resolvendo dot x=0 e dot y=0; 2) linearizar o sistema em cada ponto pelo jacobiano; 3) classificar pela parte real dos autovalores (usando Hartman–Grobman, que vale para pontos hiperbólicos).

Passo 2

Para ter ponto de equilíbrio precisamos de
y=0 e -6x - y + y^2 = 0
Como da primeira equação vem y=0, substituindo em -6x - y + y^2=0 obtemos
-6x = 0 Longrightarrow x=0
Logo o único ponto de equilíbrio é (0,0).

Passo 3

Vamos calcular o jacobiano J(x,y). Chamando
f1(x,y) = y, f2(x,y) = -6x - y + y^2,
temos
J(x,y) = partial f1partial x & partial f1partial y[6pt] partial f2partial x & partial f2partial y = 0 & 1 -6 & -1 + 2y
Em (0,0) isso vale
J(0,0) = 0 & 1 -6 & -1 ]

Passo 4

Para classificar calculamos o polinômio característico de J(0,0):
detl(J(0,0)-lambda Ir) = det!-lambda & 1 -6 & -1-lambda = lambda^2 + lambda + 6
As raízes são
lambda = -1pm raiz1 - 242 = -1pm iraiz232
Elas têm parte real -tfrac12<0 e são complexas, o que caracteriza um foco (espiral) com decaimento.

Passo 5

Como a parte real dos dois autovalores é negativa, (0,0) é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável e, mais precisamente, um foco assintoticamente estável (espiral atrator). Como não havia outro ponto de equilíbrio, encerramos a investigação aqui.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é (0,0) e ele é um foco assintoticamente estável (espiral atrator).

Exercícios relacionados