Investigue a estabilidade de todos os pontos de equilibrio do sistema
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar todos os pontos de equilíbrio do sistema
e investigar a estabilidade de cada um. O conteúdo que vamos usar é: ) encontrar pontos de equilíbrio resolvendo e ; ) linearizar o sistema em cada ponto pelo jacobiano; ) classificar pela parte real dos autovalores (usando Hartman–Grobman, que vale para pontos hiperbólicos).
Passo 2
Para ter ponto de equilíbrio precisamos de
Como da primeira equação vem , substituindo em obtemos
Logo o único ponto de equilíbrio é .
Passo 3
Vamos calcular o jacobiano . Chamando
temos
Em (0,0) isso vale
J(0,0) = 0 & 1 -6 & -1 ]
Passo 4
Para classificar calculamos o polinômio característico de J(0,0):
Elas têm parte real -tfrac12<0 e são complexas, o que caracteriza um foco (espiral) com decaimento.
Passo 5
Como a parte real dos dois autovalores é negativa, (0,0) é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável e, mais precisamente, um foco assintoticamente estável (espiral atrator). Como não havia outro ponto de equilíbrio, encerramos a investigação aqui.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é (0,0) e ele é um foco assintoticamente estável (espiral atrator).