Considere o conjunto
. Mostre, justificando as respostas, que (
) não é um espaço vetorial sobre
em relação as operações
dadas por:
e
. (OBS: Faça todas as propriedades!!!)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações definidas por:
para todo
e
.
O que se pede: mostrar, com justificativas, que NÃO é um espaço vetorial sobre
.
Informações relevantes que temos: as fórmulas explícitas de e de
. A tarefa é verificar todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial e apontar quais falham (basta uma falha para concluir que não é espaço vetorial, mas vou examinar todas elas como pedido).
O que se pede: mostrar, com justificativas, que
Informações relevantes que temos: as fórmulas explícitas de
Passo 2
Antes de testar, vamos lembrar claramente quais são as propriedades que um conjunto
deve satisfazer para ser um espaço vetorial sobre
. Vou escrever cada axioma e explicar o que significa, devagarinho:
-
Fechamento por adição: para todo
, temos . Significa que somando dois vetores do conjunto, o resultado continua no conjunto. -
Comutatividade da adição: para todo
, . Ordem não deve importar. -
Associatividade da adição: para todo
, . Dá para agrupar soma de três vetores de qualquer jeito. -
Existência do elemento neutro (vetor zero): existe
tal que para todo . -
Existência de inversos aditivos: para todo
existe tal que . -
Fechamento por multiplicação escalar: para todo
e , . -
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
para todo e . -
Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
para todo e . -
Compatibilidade da multiplicação escalar:
para todo e . -
Identidade do escalar
: para todo .
Vou checar cada uma dessas propriedades usando as fórmulas dadas.
Passo 3
Fechamento por adição (axioma 1).
Pegamos e
em
. Pela definição,
Pegamos
As componentes
e
são números reais (diferença e soma de reais). Logo
. Portanto a propriedade de fechamento por adição é satisfeita.
Passo 4
Comutatividade da adição (axioma 2).
Calcule e
:
Calcule
Compare as componentes: a segunda componente coincide porque
. A primeira componente, porém, é
em
e
em
. Esses dois números são, em geral, diferentes:
salvo casos especiais (por exemplo quando
). Para dar um contraexemplo concreto, tome
e
. Então
e claramente
. Logo a adição NÃO é comutativa em geral. Conclusão: o axioma da comutatividade falha.
Passo 5
Associatividade da adição (axioma 3).
Pegue ,
,
. Primeiro calcule
:
Pegue
Agora calcule
:
Compare: as segundas componentes coincidem, mas as primeiras são
em
e
em
. Essas só são iguais se
, ou seja
. Como queremos igualdade para todo
, a associatividade falha em geral. Um contraexemplo simples: escolha
,
,
. Então
e
. Conclusão: a adição NÃO é associativa.
Passo 6
Existência do elemento neutro aditivo (axioma 4).
Procuramos tal que, para todo
,
Procuramos
Isto impõe
e
. Assim
satisfaz
para todo
. Entretanto, para ser o elemento neutro em um grupo aditivo é costume exigir a propriedade
também. Verifiquemos:
Em geral
(por exemplo para
). Assim
é apenas um neutro à direita (satisfaz
) mas não é neutro à esquerda. Como um espaço vetorial exige que
seja um grupo abeliano (em particular ter neutro dois lados e ser associativo e comutativo), aqui já temos falhas sérias: falta associatividade e falta neutro bilateral. Conclusão: não existe neutro aditivo adequado (dois lados) — axioma 4, no sentido necessário para formar um grupo abeliano, falha.
Passo 7
Existência de inversos aditivos (axioma 5).
Mesmo que a definição pedisse só um com
, vamos verificar se existe tal
para cada
. Procuramos
tal que
Mesmo que a definição pedisse só um
Isso exige
e
. Portanto o vetor
é um candidato de inverso à direita:
. Porém, para ser inverso aditivo em sentido de grupo devemos também ter
. Calcule:
Surpreendentemente aqui
também, porque escolhemos
e
: então
e
. Na verdade para este caso particular o inverso funciona dos dois lados. Porém isso não repara os problemas anteriores: associatividade e comutatividade da adição falharam, então não temos a estrutura de grupo abeliano. Conclusão: embora para cada
exista um elemento que funciona como inverso à direita (e aqui também à esquerda por cálculo), a falta de associatividade e comutatividade impede que
seja um grupo abeliano, logo o axioma global de “grupo abeliano sob +” não é satisfeito.
Passo 8
Fechamento por multiplicação escalar (axioma 6).
Para e
temos
Para
Como produto de reais é real, isso pertence a
. Logo o fechamento por escalar vale.
Passo 9
Distributividade do escalar sobre soma de vetores (axioma 7): verificar
.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado esquerdo:
Agora o lado direito:
Os dois lados coincidem exatamente. Portanto esta propriedade é satisfeita.
Passo 10
Distributividade da soma de escalares sobre vetor (axioma 8): verificar
.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Comparando as componentes, para o primeiro componente precisamos de
o que exigiria
, i.e.
, nem de longe uma identidade verdadeira para todos
. Logo em geral os dois lados são diferentes. Um contraexemplo muito simples: escolha
,
,
. Então
enquanto
Como
, a propriedade falha. Conclusão: a distributividade da soma de escalares sobre vetor NÃO vale.
Passo 11
Compatibilidade da multiplicação escalar (axioma 9): verificar
.
Calcule:
Calcule:
Por outro lado,
Os dois lados coincidem, logo este axioma é satisfeito.
Passo 12
Identidade do escalar
(axioma 10): verificar
.
portanto a propriedade vale.
Passo 13
Resumo das verificações e conclusão final (motivacional e direto).
- Satisfeitas: fechamento por adição (Passo 3), fechamento por escalar (Passo 8), distributividade
(Passo 9), compatibilidade escalar (Passo 11), e (Passo 12). - Falhas graves: comutatividade da adição (Passo 4) e associatividade da adição (Passo 5) falham; além disso a distributividade
falha (Passo 10). Como um espaço vetorial exige que seja um grupo abeliano (o que requer associatividade e comutatividade da adição, mais existência de neutro bilateral e inversos) e também exige ambas as propriedades distributivas, a presença de qualquer uma dessas falhas é suficiente para concluir que NÃO é um espaço vetorial sobre .
Força aí — encontramos contraexemplos explícitos e mostramos onde as identidades pedidas deixam de valer.
Resposta
Não é um espaço vetorial sobre
.