Considere o conjunto V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right): x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre, justificando as respostas, que ( V,+, \cdot ) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} em relação as operações +e \cdot dadas por: \left(x_{1}, x_{2}\right)+\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}-y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) \quad e \lambda \cdot\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\lambda^{2} x_{1}, \lambda^{2} x_{2}\right). (OBS: Faça todas as propriedades!!!)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\{(x_{1},x_{2}):x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} com as operações definidas por:
(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}-y_{1},\,x_{2}+y_{2}),
\lambda\cdot(x_{1},x_{2})=(\lambda^{2}x_{1},\,\lambda^{2}x_{2}),
para todo \lambda\in\mathbb{R} e (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\in V.
O que se pede: mostrar, com justificativas, que (V,+,\cdot) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes que temos: as fórmulas explícitas de + e de \cdot. A tarefa é verificar todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial e apontar quais falham (basta uma falha para concluir que não é espaço vetorial, mas vou examinar todas elas como pedido).

Passo 2

Antes de testar, vamos lembrar claramente quais são as propriedades que um conjunto V deve satisfazer para ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Vou escrever cada axioma e explicar o que significa, devagarinho:
  1. Fechamento por adição: para todo u,v\in V, temos u+v\in V. Significa que somando dois vetores do conjunto, o resultado continua no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: para todo u,v\in V, u+v=v+u. Ordem não deve importar.
  3. Associatividade da adição: para todo u,v,w\in V, (u+v)+w=u+(v+w). Dá para agrupar soma de três vetores de qualquer jeito.
  4. Existência do elemento neutro (vetor zero): existe 0_V\in V tal que v+0_V=v para todo v\in V.
  5. Existência de inversos aditivos: para todo v\in V existe -v\in V tal que v+(-v)=0_V.
  6. Fechamento por multiplicação escalar: para todo \lambda\in\mathbb{R} e v\in V, \lambda\cdot v\in V.
  7. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: \lambda\cdot(u+v)=\lambda\cdot u+\lambda\cdot v para todo \lambda\in\mathbb{R} e u,v\in V.
  8. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (\lambda+\mu)\cdot v=\lambda\cdot v+\mu\cdot v para todo \lambda,\mu\in\mathbb{R} e v\in V.
  9. Compatibilidade da multiplicação escalar: (\lambda\mu)\cdot v=\lambda\cdot(\mu\cdot v) para todo \lambda,\mu\in\mathbb{R} e v\in V.
  10. Identidade do escalar 1: 1\cdot v=v para todo v\in V.
Vou checar cada uma dessas propriedades usando as fórmulas dadas.

Passo 3

Fechamento por adição (axioma 1).
Pegamos u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}) em V. Pela definição,
u+v=(x_{1}-y_{1},\,x_{2}+y_{2}).
As componentes x_{1}-y_{1} e x_{2}+y_{2} são números reais (diferença e soma de reais). Logo u+v\in V. Portanto a propriedade de fechamento por adição é satisfeita.

Passo 4

Comutatividade da adição (axioma 2).
Calcule u+v e v+u:
u+v=(x_{1}-y_{1},\,x_{2}+y_{2}),
v+u=(y_{1}-x_{1},\,y_{2}+x_{2}).
Compare as componentes: a segunda componente coincide porque x_{2}+y_{2}=y_{2}+x_{2}. A primeira componente, porém, é x_{1}-y_{1} em u+v e y_{1}-x_{1} em v+u. Esses dois números são, em geral, diferentes: x_{1}-y_{1}\neq y_{1}-x_{1} salvo casos especiais (por exemplo quando x_{1}=y_{1}). Para dar um contraexemplo concreto, tome u=(1,0) e v=(0,0). Então
u+v=(1-0,\,0+0)=(1,0),
v+u=(0-1,\,0+0)=(-1,0),
e claramente (1,0)\neq(-1,0). Logo a adição NÃO é comutativa em geral. Conclusão: o axioma da comutatividade falha.

Passo 5

Associatividade da adição (axioma 3).
Pegue u=(x_{1},x_{2}), v=(y_{1},y_{2}), w=(z_{1},z_{2}). Primeiro calcule (u+v)+w:
u+v=(x_{1}-y_{1},\,x_{2}+y_{2}),
(u+v)+w=( (x_{1}-y_{1})-z_{1},\; (x_{2}+y_{2})+z_{2} )=(x_{1}-y_{1}-z_{1},\;x_{2}+y_{2}+z_{2}).
Agora calcule u+(v+w):
v+w=(y_{1}-z_{1},\,y_{2}+z_{2}),
u+(v+w)=( x_{1}-(y_{1}-z_{1}),\; x_{2}+(y_{2}+z_{2}) )=(x_{1}-y_{1}+z_{1},\;x_{2}+y_{2}+z_{2}).
Compare: as segundas componentes coincidem, mas as primeiras são x_{1}-y_{1}-z_{1} em (u+v)+w e x_{1}-y_{1}+z_{1} em u+(v+w). Essas só são iguais se z_{1}=-z_{1}, ou seja z_{1}=0. Como queremos igualdade para todo u,v,w, a associatividade falha em geral. Um contraexemplo simples: escolha u=(0,0), v=(0,0), w=(1,0). Então
(u+v)+w=(0-0-1,\;0+0+0)=(-1,0),
u+(v+w)=(0-(0-1),\;0+0+0)=(1,0),
e (-1,0)\neq(1,0). Conclusão: a adição NÃO é associativa.

Passo 6

Existência do elemento neutro aditivo (axioma 4).
Procuramos 0_V=(e_{1},e_{2})\in V tal que, para todo v=(x_{1},x_{2}),
v+0_V=(x_{1}-e_{1},\,x_{2}+e_{2})=(x_{1},x_{2}).
Isto impõe e_{1}=0 e e_{2}=0. Assim 0_V=(0,0) satisfaz v+0_V=v para todo v. Entretanto, para ser o elemento neutro em um grupo aditivo é costume exigir a propriedade 0_V+v=v também. Verifiquemos:
0_V+v=(0-x_{1},\,0+x_{2})=(-x_{1},\,x_{2}).
Em geral (-x_{1},x_{2})\neq(x_{1},x_{2}) (por exemplo para x_{1}=1). Assim 0_V=(0,0) é apenas um neutro à direita (satisfaz v+0_V=v) mas não é neutro à esquerda. Como um espaço vetorial exige que (V,+) seja um grupo abeliano (em particular ter neutro dois lados e ser associativo e comutativo), aqui já temos falhas sérias: falta associatividade e falta neutro bilateral. Conclusão: não existe neutro aditivo adequado (dois lados) — axioma 4, no sentido necessário para formar um grupo abeliano, falha.

Passo 7

Existência de inversos aditivos (axioma 5).
Mesmo que a definição pedisse só um w com v+w=0_V, vamos verificar se existe tal w para cada v. Procuramos w=(u_{1},u_{2}) tal que
v+w=(x_{1}-u_{1},\,x_{2}+u_{2})=(0,0).
Isso exige u_{1}=x_{1} e u_{2}=-x_{2}. Portanto o vetor w=(x_{1},-x_{2}) é um candidato de inverso à direita: v+w=0_V. Porém, para ser inverso aditivo em sentido de grupo devemos também ter w+v=0_V. Calcule:
w+v=(u_{1}-x_{1},\,u_{2}+x_{2})=(x_{1}-x_{1},\,-x_{2}+x_{2})=(0,0).
Surpreendentemente aqui w+v=(0,0) também, porque escolhemos u_{1}=x_{1} e u_{2}=-x_{2}: então u_{1}-x_{1}=0 e u_{2}+x_{2}=0. Na verdade para este caso particular o inverso funciona dos dois lados. Porém isso não repara os problemas anteriores: associatividade e comutatividade da adição falharam, então não temos a estrutura de grupo abeliano. Conclusão: embora para cada v exista um elemento que funciona como inverso à direita (e aqui também à esquerda por cálculo), a falta de associatividade e comutatividade impede que (V,+) seja um grupo abeliano, logo o axioma global de “grupo abeliano sob +” não é satisfeito.

Passo 8

Fechamento por multiplicação escalar (axioma 6).
Para \lambda\in\mathbb{R} e v=(x_{1},x_{2}) temos
\lambda\cdot v=(\lambda^{2}x_{1},\,\lambda^{2}x_{2}).
Como produto de reais é real, isso pertence a V. Logo o fechamento por escalar vale.

Passo 9

Distributividade do escalar sobre soma de vetores (axioma 7): verificar \lambda\cdot(u+v)=\lambda\cdot u+\lambda\cdot v.
Calcule o lado esquerdo:
u+v=(x_{1}-y_{1},\,x_{2}+y_{2}),
\lambda\cdot(u+v)=(\lambda^{2}(x_{1}-y_{1}),\;\lambda^{2}(x_{2}+y_{2})).
Agora o lado direito:
\lambda\cdot u=(\lambda^{2}x_{1},\,\lambda^{2}x_{2}),\quad \lambda\cdot v=(\lambda^{2}y_{1},\,\lambda^{2}y_{2}),
\lambda\cdot u+\lambda\cdot v=(\lambda^{2}x_{1}-\lambda^{2}y_{1},\;\lambda^{2}x_{2}+\lambda^{2}y_{2})=(\lambda^{2}(x_{1}-y_{1}),\;\lambda^{2}(x_{2}+y_{2})).
Os dois lados coincidem exatamente. Portanto esta propriedade é satisfeita.

Passo 10

Distributividade da soma de escalares sobre vetor (axioma 8): verificar (\lambda+\mu)\cdot v=\lambda\cdot v+\mu\cdot v.
Calcule o lado esquerdo:
(\lambda+\mu)\cdot v=((\lambda+\mu)^{2}x_{1},\;(\lambda+\mu)^{2}x_{2})=((\lambda^{2}+2\lambda\mu+\mu^{2})x_{1},\;(\lambda^{2}+2\lambda\mu+\mu^{2})x_{2}).
Calcule o lado direito:
\lambda\cdot v=(\lambda^{2}x_{1},\,\lambda^{2}x_{2}),\quad \mu\cdot v=(\mu^{2}x_{1},\,\mu^{2}x_{2}),
\lambda\cdot v+\mu\cdot v=(\lambda^{2}x_{1}-\mu^{2}x_{1},\;\lambda^{2}x_{2}+\mu^{2}x_{2})=((\lambda^{2}-\mu^{2})x_{1},\;(\lambda^{2}+\mu^{2})x_{2}).
Comparando as componentes, para o primeiro componente precisamos de
\lambda^{2}+2\lambda\mu+\mu^{2} \stackrel{?}{=} \lambda^{2}-\mu^{2},
o que exigiria 2\lambda\mu+\mu^{2}=-\mu^{2}, i.e. 2\lambda\mu+2\mu^{2}=0, nem de longe uma identidade verdadeira para todos \lambda,\mu. Logo em geral os dois lados são diferentes. Um contraexemplo muito simples: escolha v=(1,0), \lambda=1, \mu=1. Então
(\lambda+\mu)\cdot v=(2)^{2}\cdot(1,0)=(4,0),
enquanto
\lambda\cdot v+\mu\cdot v=(1^{2}\cdot1-1^{2}\cdot1,\;1^{2}\cdot0+1^{2}\cdot0)=(0,0).
Como (4,0)\neq(0,0), a propriedade falha. Conclusão: a distributividade da soma de escalares sobre vetor NÃO vale.

Passo 11

Compatibilidade da multiplicação escalar (axioma 9): verificar (\lambda\mu)\cdot v=\lambda\cdot(\mu\cdot v).
Calcule:
(\lambda\mu)\cdot v=((\lambda\mu)^{2}x_{1},\;(\lambda\mu)^{2}x_{2})=(\lambda^{2}\mu^{2}x_{1},\;\lambda^{2}\mu^{2}x_{2}).
Por outro lado,
\mu\cdot v=(\mu^{2}x_{1},\;\mu^{2}x_{2}),
\lambda\cdot(\mu\cdot v)=(\lambda^{2}\mu^{2}x_{1},\;\lambda^{2}\mu^{2}x_{2}).
Os dois lados coincidem, logo este axioma é satisfeito.

Passo 12

Identidade do escalar 1 (axioma 10): verificar 1\cdot v=v.
1\cdot (x_{1},x_{2})=(1^{2}x_{1},\,1^{2}x_{2})=(x_{1},x_{2}),
portanto a propriedade vale.

Passo 13

Resumo das verificações e conclusão final (motivacional e direto).
  • Satisfeitas: fechamento por adição (Passo 3), fechamento por escalar (Passo 8), distributividade \lambda\cdot(u+v)=\lambda\cdot u+\lambda\cdot v (Passo 9), compatibilidade escalar (\lambda\mu)\cdot v=\lambda\cdot(\mu\cdot v) (Passo 11), e 1\cdot v=v (Passo 12).
  • Falhas graves: comutatividade da adição (Passo 4) e associatividade da adição (Passo 5) falham; além disso a distributividade (\lambda+\mu)\cdot v=\lambda\cdot v+\mu\cdot v falha (Passo 10). Como um espaço vetorial exige que (V,+) seja um grupo abeliano (o que requer associatividade e comutatividade da adição, mais existência de neutro bilateral e inversos) e também exige ambas as propriedades distributivas, a presença de qualquer uma dessas falhas é suficiente para concluir que (V,+,\cdot) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Força aí — encontramos contraexemplos explícitos e mostramos onde as identidades pedidas deixam de valer.

Resposta

Não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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