Classifique as funções seguintes em
(I) injetiva
(II) sobrejetiva
(III) bijetiva
(IV) não é sobrejetiva nem injetiva
Nesta questão, tente usar os critérios analíticos de injetividade e sobrejetividade, i.e.
(i) é injetiva se .
(ii) não é injetiva se com .
(iii) é sobrejetiva se tal que se tem .
(iv) não é sobrejetiva se tal que satisfazendo .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(Obs: [[x]]:=) maior inteiro menor ou igual a
)
(f)
(g)
(h)
(I) injetiva
(II) sobrejetiva
(III) bijetiva
(IV) não é sobrejetiva nem injetiva
(i) é injetiva se .
(ii) não é injetiva se com .
(iii) é sobrejetiva se tal que se tem .
(iv) não é sobrejetiva se tal que satisfazendo .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Nesse exercício, vamos classificar oito funções entre injetiva, sobrejetiva, bijetiva ou nenhuma das anteriores, usando os critérios analíticos de injetividade (uma função é injetiva se de
segue
) e sobrejetividade (é sobrejetiva se para todo
no contradomínio existe
tal que
).
Passo 2
Para
,
: testando injetividade, se
então
, logo é injetiva. Para sobrejetividade, dado
, basta escolher
para ter
, então é sobrejetiva. Concluímos que
é bijetiva.
Passo 3
Para
,
: não é injetiva porque, por exemplo,
com
. Também não é sobrejetiva em
pois o valor máximo de
é 1 e não existe
tal que
. Assim,
não é nem injetiva nem sobrejetiva.
Passo 4
Para
,
: não é injetiva porque
mas
. É sobrejetiva em
pois para cada
basta pegar
ou
para ter
. Logo,
é só sobrejetiva.
Passo 5
Para
,
: é injetiva porque se
então
. Não é sobrejetiva em
pois, por exemplo, não existe
tal que
ou
(valores que não são congruentes a 2 módulo 3). Logo, é só injetiva.
Passo 6
Para
,
: não é injetiva porque todos os
em
mapeiam para
. É sobrejetiva em
já que para cada inteiro
escolhemos
e
. Assim, é só sobrejetiva.
Passo 7
Para
,
: se
segue
, então é injetiva. E para qualquer
basta
para ter
, logo é sobrejetiva. Portanto,
é bijetiva.
Passo 8
Para
,
: é estritamente crescente, logo injetiva, e todo
tem raiz cúbica real, então é sobrejetiva. Concluímos que
é bijetiva.
Passo 9
Para
,
: note que
e
com
, logo não é injetiva. Analisando o valor de
para
e
mostra-se que o alcance é todo
, então é sobrejetiva. Assim,
é só sobrejetiva.
Resposta
(a) bijetiva (III), (b) não é injetiva nem sobrejetiva (IV), © sobrejetiva (II), (d) injetiva (I), (e) sobrejetiva (II), (f) bijetiva (III), (g) bijetiva (III), (h) sobrejetiva (II)