Classifique as funções seguintes em
(I) injetiva
(II) sobrejetiva
(III) bijetiva
(IV) não é sobrejetiva nem injetiva
Nesta questão, tente usar os critérios analíticos de injetividade e sobrejetividade, i.e.
(i) é injetiva se .
(ii) não é injetiva se com .
(iii) é sobrejetiva se tal que se tem .
(iv) não é sobrejetiva se tal que satisfazendo .
(a) f: R R, f(x)=2 x+1
(b) g: R R, g(x)=1-x^2
© h: R [0, infty), h(x)=|x-1|
(d) m: N N, m(x)=3 x+2
(e) n: R Z, n(x) equiv[[x]]
(Obs: [[x]]:=) maior inteiro menor ou igual a x )
(f) p: R-0 R-0, p(x)=1x
(g) q: R R, q(x)=x^3
(h) r: R R, r(x)=|x|(x-1)

Passo 1

Nesse exercício, vamos classificar oito funções entre injetiva, sobrejetiva, bijetiva ou nenhuma das anteriores, usando os critérios analíticos de injetividade (uma função é injetiva se de f(x1)=f(x2) segue x1=x2) e sobrejetividade (é sobrejetiva se para todo y no contradomínio existe x tal que f(x)=y).

Passo 2

Para f:RtoR, f(x)=2x+1: testando injetividade, se 2x1+1=2x2+1 então x1=x2, logo é injetiva. Para sobrejetividade, dado yinR, basta escolher x=(y-1)/2 para ter f(x)=y, então é sobrejetiva. Concluímos que f é bijetiva.

Passo 3

Para g:RtoR, g(x)=1-x^2: não é injetiva porque, por exemplo, g(1)=g(-1)=0 com 1neq-1. Também não é sobrejetiva em R pois o valor máximo de g é 1 e não existe x tal que g(x)>1. Assim, g não é nem injetiva nem sobrejetiva.

Passo 4

Para h:Rto[0,infty), h(x)=|x-1|: não é injetiva porque h(0)=h(2)=1 mas 0neq2. É sobrejetiva em [0,infty) pois para cada y>=0 basta pegar x=1+y ou x=1-y para ter |x-1|=y. Logo, h é só sobrejetiva.

Passo 5

Para m:NtoN, m(x)=3x+2: é injetiva porque se 3x1+2=3x2+2 então x1=x2. Não é sobrejetiva em N pois, por exemplo, não existe xinN tal que 3x+2=1 ou 3x+2=3 (valores que não são congruentes a 2 módulo 3). Logo, é só injetiva.

Passo 6

Para n:RtoZ, n(x)=lfloor xrfloor: não é injetiva porque todos os x em [k,k+1) mapeiam para k. É sobrejetiva em Z já que para cada inteiro k escolhemos x=k e lfloor krfloor=k. Assim, é só sobrejetiva.

Passo 7

Para p:Rsetminus0toRsetminus0, p(x)=1/x: se 1/x1=1/x2 segue x1=x2, então é injetiva. E para qualquer yneq0 basta x=1/y para ter p(x)=y, logo é sobrejetiva. Portanto, p é bijetiva.

Passo 8

Para q:RtoR, q(x)=x^3: é estritamente crescente, logo injetiva, e todo yinR tem raiz cúbica real, então é sobrejetiva. Concluímos que q é bijetiva.

Passo 9

Para r:RtoR, r(x)=|x|(x-1): note que r(0)=0 e r(1)=0 com 0neq1, logo não é injetiva. Analisando o valor de r(x) para x<0 e x>1 mostra-se que o alcance é todo R, então é sobrejetiva. Assim, r é só sobrejetiva.

Resposta

(a) bijetiva (III), (b) não é injetiva nem sobrejetiva (IV), © sobrejetiva (II), (d) injetiva (I), (e) sobrejetiva (II), (f) bijetiva (III), (g) bijetiva (III), (h) sobrejetiva (II)

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