1. Determine k in R para que o plano tangente ao gráfico de (2,1, f(2,1)) no ponto 3 x+z=0 seja perpendicular ao plano f: R R.
  2. Seja z= uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície f: R^2 R, f R^2 passam pela origem.
  3. Seja 2 x+y+z=7 com derivadas parciais contínuas em f e tal que (0,2, f(0,2)) é o plano tangente ao gráfico de g(u, v)=u f(sen(u^2-v^3), 2 u^2 v) no ponto a in R. Seja
g
Determine (1,1, g(1,1)) para que o plano tangente ao gráfico de (4,2, a) no ponto f: R^2 R seja paralelo ao vetor mu(t)=.
28. Seja f uma função diferenciável tal que as imagens das curvas f e (2,1) f(x, y)=x^2+y^4 estejam contidas no gráfico de P. Determine o gradiente de f no ponto P.
29. O gradiente de P é tangente à imagem da curva em um ponto . Encontre a equação da reta tangente à curva de nível de que contém , no ponto .

Passo 1

Neste exercício temos cinco itens distintos que envolvem planos tangentes, gradientes e propriedades de superfícies diferenciáveis.

Passo 2

  1. Precisamos achar o valor de k tal que o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=ln(x^2+k y^2) em (2,1,f(2,1)) seja perpendicular ao plano 3x+z=0. Calculamos fx e fy, montamos o vetor normal do plano tangente e impomos ortogonalidade com (3,0,1).

Passo 3

  1. Para z=x,fl(x/yr), mostramos que em qualquer ponto (a,b) a equação do plano tangente contém sempre a origem. Calculamos hx e hy de h(x,y)=x f(x/y) e verificamos que h(a,b)-a hx(a,b)-b hy(a,b)=0.

Passo 4

  1. Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f em (0,2) é 2x+y+z=7, obtemos fx(0,2)=-2, fy(0,2)=-1 e f(0,2)=5. Definimos g(u,v)=u fl(sin(u^2-v^3),2u^2vr), calculamos gu e gv em (1,1) usando a regra da cadeia, e exigimos que o vetor (4,2,a) seja paralelo ao plano, ou seja, esteja ortogonal ao normal (-gu,-gv,1).

Passo 5

  1. Para f:Bbb R^2toBbb R tal que as imagens de gamma(t)=(2,t,2t^2) e mu(t)=(2t^2,t,2t^4) estão no gráfico, usamos derivações implícitas: de f(2,t)=2t^2 obtemos fy(2,1)=4; de f(2t^2,t)=2t^4 obtemos 4t,fx(2,1)+fy(2,1)=8, levando a fx(2,1)=1.

Passo 6

  1. Para f(x,y)=x^2+y^4 e gamma(t)=(t^2,t), exigimos que nabla f(gamma(t)) seja paralelo a gamma'(t)=(2t,1). Isso dá 4t^2=1 e t=1/2. Então P=(1/4,1/2). A reta tangente à curva de nível f=1/8 em P tem direção ( -fy,fx )=(-1/2,1/2), resultando em y-tfrac12=-1(x-tfrac14).

Resposta

  1. k=8
  2. Todos os planos tangentes passam pela origem
  3. a=-4
  4. ∇f(2,1)=(1,4)
  5. y=-x+3/4

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