- Determine
para que o plano tangente ao gráfico de
no ponto
seja perpendicular ao plano
.
- Seja
uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície
passam pela origem.
- Seja
com derivadas parciais contínuas em
e tal que
é o plano tangente ao gráfico de
no ponto
. Seja
Determine
para que o plano tangente ao gráfico de
no ponto
seja paralelo ao vetor
.
28. Seja
uma função diferenciável tal que as imagens das curvas
e
estejam contidas no gráfico de
. Determine o gradiente de
no ponto
.
29. O gradiente de
é tangente à imagem da curva
em um ponto
. Encontre a equação da reta tangente à curva de nível de
que contém
, no ponto
.
28. Seja
29. O gradiente de
Passo 1
Neste exercício temos cinco itens distintos que envolvem planos tangentes, gradientes e propriedades de superfícies diferenciáveis.
Passo 2
- Precisamos achar o valor de
tal que o plano tangente ao gráfico de em seja perpendicular ao plano . Calculamos e , montamos o vetor normal do plano tangente e impomos ortogonalidade com .
Passo 3
- Para
, mostramos que em qualquer ponto a equação do plano tangente contém sempre a origem. Calculamos e de e verificamos que .
Passo 4
- Sabendo que o plano tangente ao gráfico de
em é , obtemos , e . Definimos , calculamos e em usando a regra da cadeia, e exigimos que o vetor seja paralelo ao plano, ou seja, esteja ortogonal ao normal .
Passo 5
- Para
tal que as imagens de e estão no gráfico, usamos derivações implícitas: de obtemos ; de obtemos , levando a .
Passo 6
- Para
e , exigimos que seja paralelo a . Isso dá e . Então . A reta tangente à curva de nível em tem direção , resultando em .
Resposta
- k=8
- Todos os planos tangentes passam pela origem
- a=-4
- ∇f(2,1)=(1,4)
- y=-x+3/4