Determine m in R tal que as retas (m+1) x+m y+1=0 e m x+(m+1) y=0 sejam paralelas. Faça os gráficos das retas que encontrou.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m em R tal que as retas
(m+1)x + m y + 1 = 0 e m x + (m+1)y = 0
sejam paralelas. Esse é um problema de geometria analítica no plano, e vamos precisar usar a condição de que duas retas são paralelas quando têm coeficientes angulares (inclinações) iguais.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever cada reta na forma reduzida y = ax + b para identificar o coeficiente angular a.
Para a primeira reta:
(m+1)x + m y + 1 = 0
isola-se y:
m y = - (m+1)x - 1
y = -m+1m ,x - 1m
Logo o coeficiente angular é
a1 = -m+1m
Para a segunda reta:
m x + (m+1) y = 0
(m+1)y = -m x
y = -mm+1 ,x
Logo o coeficiente angular é
a2 = -mm+1

Passo 3

Para que as retas sejam paralelas, precisamos ter
a1 = a2
Ou seja
-m+1m = -mm+1
Cancelando o sinal menos e fazendo o produto cruzado:
m+1m = mm+1
(m+1)^2 = m^2
Isso dá duas possibilidades:
  1. m+1 = m implica 1 = 0, impossível.
  2. m+1 = -m implica 2m = -1 e portanto
m = -tfrac12

Passo 4

É preciso também garantir que não caiamos em casos degenerados onde algum denominador zera: observamos que exigimos m neq 0 e m+1 neq 0. Para m = -tfrac12 temos m neq 0 e m+1 = tfrac12 neq 0, então está tudo ok.
Com m = -tfrac12 obtemos as retas:
Primeira:
(m+1)x + m y + 1 = 0
(tfrac12)x -tfrac12,y +1 = 0 iff x - y + 2 = 0 iff y = x + 2
Segunda:
m x + (m+1) y = 0
-tfrac12 x + tfrac12 y = 0 iff -x + y = 0 iff y = x
Ambas têm coeficiente angular 1 e interceptos diferentes ( 2 e 0), logo são paralelas.

Passo 5

Esboço do gráfico: desenhe duas retas de inclinação 1. Uma passa por (0,2) (reta y = x+2) e outra por (0,0) (reta y = x). Elas nunca se cruzam, confirmando o paralelismo.

Resposta

m = -tfrac12, com as retas y = x+2 e y = x.

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