Classifique os grupos finitos de ordem 10.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar os grupos finitos de ordem 10. Isso significa que precisamos descobrir todos os tipos de grupos que têm exatamente 10 elementos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como grupos cíclicos e grupos diédricos, além de alguns teoremas importantes como o Teorema de Sylow.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que 10 pode ser decomposto em fatores primos:
. Esses são números primos, o que é importante para a nossa análise.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que se a ordem de um grupo
for o produto de dois primos distintos,
e
, com
, existem condições sobre como esses grupos podem ser estruturados.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Sylow, sabemos que:
- Existe um subgrupo de ordem 5 (já que 5 é primo).
- Existe um subgrupo de ordem 2 (já que 2 é primo).
Além disso, como
divide
, isso nos indica que além do grupo cíclico, existe também um grupo não abeliano de ordem 10.
Passo 5
Portanto, os grupos de ordem 10 são:
-
Grupo Cíclico
: Esse é o grupo onde todos os elementos são potências de um único elemento gerador. Ele é abeliano, ou seja, a operação do grupo é comutativa. -
Grupo Diédrico
: Esse é um grupo não abeliano que representa as simetrias de um pentágono, incluindo rotações e reflexões.
Resposta
Os grupos finitos de ordem 10, até isomorfismo, são o grupo cíclico
e o grupo diédrico
.