O objetivo para tentar inverter é usar eliminação de Gauss-Jordan: construir a matriz aumentada [A\mid I_4] e aplicar operações elementares sobre linhas para transformar o bloco esquerdo em I_4. Se conseguirmos, o bloco direito se tornará A^{-1}. Se não for possível (aparecerem linhas nulas no bloco esquerdo, por exemplo), então A é singular e não tem inversa.]
Vou aplicar operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_j, que são operações elementares que NÃO alteram o determinante (subtrair múltiplo de uma linha por outra deixa o determinante inalterado). Isso é útil para verificar se o determinante final é zero ou não: se, por tais operações, chegar-se a duas linhas idênticas (ou a uma linha nula) no bloco esquerdo, então o determinante de A é zero.]
Passo 4
Eliminação usando R_1 como pivô:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
Cálculo elemento a elemento:
2-2\cdot1=0,
-1-2\cdot2=-5,
1-2\cdot(-1)=1+2=3,
0-2\cdot1=-2.
Para o lado direito (bloco identidade):
0-2\cdot1=-2,
1-2\cdot0=1,
0-2\cdot0=0,
0-2\cdot0=0.
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
Esquerda:
3-3\cdot1=0,
1-3\cdot2=1-6=-5,
0-3\cdot(-1)=3,
1-3\cdot1=-2.
Direita:
0-3\cdot1=-3,
0-3\cdot0=0,
1-3\cdot0=1,
0-3\cdot0=0.
R_4 \leftarrow R_4 - R_1:
Esquerda:
1-1=0,
-3-2=-5,
2-(-1)=3,
-1-1=-2.
Direita:
0-1=-1,
0-0=0,
0-0=0,
1-0=1.
Após essas três operações a matriz aumentada fica:
Observação importante: as três linhas R_2,R_3,R_4 agora têm o MESMO bloco esquerdo (0,-5,3,-2). Isso já é um indício de dependência linear entre as linhas originais de A. Continuo a eliminação para deixar isso explícito:
Aplico R_3 \leftarrow R_3 - R_2 e R_4 \leftarrow R_4 - R_2. Essas subtrações também não mudam o determinante.
No bloco esquerdo (originalmente A) aparecem agora duas linhas nulas (linhas 3 e 4 do bloco esquerdo). Isso significa que, por operações elementares que não mudam o determinante (subtrair múltiplos de linhas), chegamos a uma matriz com linhas nulas; portanto a matriz original tem determinante igual a zero. Mais direto: antes dessas últimas subtrações tínhamos três linhas idênticas no bloco esquerdo; uma matriz com duas linhas idênticas tem determinante zero, e como apenas se usaram operações do tipo R_i\leftarrow R_i - k R_j, o determinante original é zero.
Como o determinante é zero, a matriz é singular e NÃO é invertível.
O posto (rank) de A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Pelas linhas não-nulas restantes no bloco esquerdo (após eliminação), temos exatamente duas linhas linearmente independentes (linhas 1 e 2 do bloco esquerdo são não-nulas e independentes). Logo o posto é \operatorname{rank}(A)=2.
Passo 7
Explicando pedagogicamente (repetindo a ideia de forma clara e amigável):
Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero; equivalentemente, se seu posto for igual à ordem da matriz (aqui \,4\!\times\!4, então posto deveria ser 4).
As operações R_i\leftarrow R_i - kR_j não alteram o determinante. Encontrar duas linhas iguais (ou uma linha nula) depois de aplicar apenas esse tipo de operação prova que o determinante original era zero.
Portanto não faz sentido continuar tentando construir A^{-1} — ele não existe.
Resposta
Classificação: matriz 4\times 4, singular (determinante 0), posto \operatorname{rank}(A)=2; não invertível.
Inversa: \text{não existe (matriz singular)}ã.