Classifique e inverta a matriz de coeficientes do sistema:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4}=1 \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=3 \\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{4}=4 \\ x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a matriz de coeficientes do sistema dado:
  • classificar essa matriz (por exemplo: dimensões, se é invertível ou singular, posto, alguma observação relevante);
  • inverter essa matriz (ou justificar por que não é possível).
As informações dadas (coeficientes do sistema) são, extraídas diretamente do enunciado:
  • Equação 1: coeficientes 1,2,-1,1.
  • Equação 2: coeficientes 2,-1,1,0.
  • Equação 3: coeficientes 3,1,0,1.
  • Equação 4: coeficientes 1,-3,2,-1.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a matriz de coeficientes A usando os coeficientes acima:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
O objetivo para tentar inverter é usar eliminação de Gauss-Jordan: construir a matriz aumentada [A\mid I_4] e aplicar operações elementares sobre linhas para transformar o bloco esquerdo em I_4. Se conseguirmos, o bloco direito se tornará A^{-1}. Se não for possível (aparecerem linhas nulas no bloco esquerdo, por exemplo), então A é singular e não tem inversa.]

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [A\mid I_4]:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -3 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Vou aplicar operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_j, que são operações elementares que NÃO alteram o determinante (subtrair múltiplo de uma linha por outra deixa o determinante inalterado). Isso é útil para verificar se o determinante final é zero ou não: se, por tais operações, chegar-se a duas linhas idênticas (ou a uma linha nula) no bloco esquerdo, então o determinante de A é zero.]

Passo 4

Eliminação usando R_1 como pivô:
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
  • Cálculo elemento a elemento:
    • 2-2\cdot1=0,
    • -1-2\cdot2=-5,
    • 1-2\cdot(-1)=1+2=3,
    • 0-2\cdot1=-2.
  • Para o lado direito (bloco identidade):
    • 0-2\cdot1=-2,
    • 1-2\cdot0=1,
    • 0-2\cdot0=0,
    • 0-2\cdot0=0.
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
  • Esquerda:
    • 3-3\cdot1=0,
    • 1-3\cdot2=1-6=-5,
    • 0-3\cdot(-1)=3,
    • 1-3\cdot1=-2.
  • Direita:
    • 0-3\cdot1=-3,
    • 0-3\cdot0=0,
    • 1-3\cdot0=1,
    • 0-3\cdot0=0.
  1. R_4 \leftarrow R_4 - R_1:
  • Esquerda:
    • 1-1=0,
    • -3-2=-5,
    • 2-(-1)=3,
    • -1-1=-2.
  • Direita:
    • 0-1=-1,
    • 0-0=0,
    • 0-0=0,
    • 1-0=1.
Após essas três operações a matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -2 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Observação importante: as três linhas R_2,R_3,R_4 agora têm o MESMO bloco esquerdo (0,-5,3,-2). Isso já é um indício de dependência linear entre as linhas originais de A. Continuo a eliminação para deixar isso explícito:
Aplico R_3 \leftarrow R_3 - R_2 e R_4 \leftarrow R_4 - R_2. Essas subtrações também não mudam o determinante.
  • Para R_3 - R_2:
    • Bloco esquerdo: (0,-5,3,-2) - (0,-5,3,-2) = (0,0,0,0).
    • Bloco direito: (-3,0,1,0) - (-2,1,0,0) = (-1,-1,1,0).
  • Para R_4 - R_2:
    • Bloco esquerdo: (0,-5,3,-2) - (0,-5,3,-2) = (0,0,0,0).
    • Bloco direito: (-1,0,0,1) - (-2,1,0,0) = (1,-1,0,1).
Após essas operações a matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Interpretação dos resultados da eliminação:
  • No bloco esquerdo (originalmente A) aparecem agora duas linhas nulas (linhas 3 e 4 do bloco esquerdo). Isso significa que, por operações elementares que não mudam o determinante (subtrair múltiplos de linhas), chegamos a uma matriz com linhas nulas; portanto a matriz original tem determinante igual a zero. Mais direto: antes dessas últimas subtrações tínhamos três linhas idênticas no bloco esquerdo; uma matriz com duas linhas idênticas tem determinante zero, e como apenas se usaram operações do tipo R_i\leftarrow R_i - k R_j, o determinante original é zero.
  • Como o determinante é zero, a matriz é singular e NÃO é invertível.
  • O posto (rank) de A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Pelas linhas não-nulas restantes no bloco esquerdo (após eliminação), temos exatamente duas linhas linearmente independentes (linhas 1 e 2 do bloco esquerdo são não-nulas e independentes). Logo o posto é \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 7

Explicando pedagogicamente (repetindo a ideia de forma clara e amigável):
  • Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero; equivalentemente, se seu posto for igual à ordem da matriz (aqui \,4\!\times\!4, então posto deveria ser 4).
  • As operações R_i\leftarrow R_i - kR_j não alteram o determinante. Encontrar duas linhas iguais (ou uma linha nula) depois de aplicar apenas esse tipo de operação prova que o determinante original era zero.
  • Portanto não faz sentido continuar tentando construir A^{-1} — ele não existe.

Resposta

Classificação: matriz 4\times 4, singular (determinante 0), posto \operatorname{rank}(A)=2; não invertível.
Inversa: \text{não existe (matriz singular)}ã.

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