O que o problema pede: determinar os valores de \alpha para os quais o sistema tem infinitas soluções.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há quatro equações e quatro incógnitas.
A segunda equação depende do parâmetro \alpha.
Para haver infinitas soluções, o sistema deve ser compatível e ter posto (rank) menor que o número de incógnitas (4). Ou seja, número de equações independentes <4 e o sistema consistente.
A partir daqui começo a resolver e a explicar passo a passo como decidir o valor de \alpha.]
Passo 2
Explicando a ideia que vou usar (sem pular etapas): para estudar existência e multiplicidade de soluções de um sistema linear uso eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada do sistema. Isso permite ver o posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada. Regras essenciais:
Se o posto da matriz de coeficientes for diferente do posto da matriz aumentada, o sistema é impossível (nenhuma solução).
Se os postos forem iguais e iguais a n (número de incógnitas), há solução única.
Se os postos forem iguais e menores que n, há infinitas soluções (há variáveis livres).
Vou montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha, mostrando cada passo.
Passo 3
Matriz aumentada inicial (colocando as equações na forma de linhas):
Agora não há linha contraditória; a matriz aumentada e a matriz de coeficientes têm o mesmo posto. Vou continuar a reduzir para ver o número de incógnitas livres e escrever a solução geral.]
Passo 7
Normalizo a linha 4 dividindo por -2 para obter pivô na coluna de z:
Isto corresponde a \;x + 2w = -1 ou \;x = -1 - 2w.
Passo 9
Resumindo as equações obtidas após eliminação completa (para \alpha=2):
Da linha 1: \;x + 2w = -1 \Rightarrow x = -1 - 2w.
Da linha 2: \;y - w = \tfrac{3}{2} \Rightarrow y = w + \tfrac{3}{2}.
Da linha 4: \;z = \tfrac{1}{2}.
A linha 3 é nula e não impõe restrição.
Há uma variável livre: w (posso chamar w=t). Assim existem infinitas soluções parametrizadas por t. Isso confirma que para \alpha=2 o sistema é compatível e o posto da matriz de coeficientes é 3<4, gerando infinitas soluções.
Posso dar a solução geral em função do parâmetro t:
\begin{cases} w = t,\\[4pt] z = \tfrac{1}{2},\\[4pt] y = t + \tfrac{3}{2},\\[4pt] x = -1 - 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.]
Passo 10
Conclusão final do raciocínio: o sistema só é compatível quando \alpha=2. Nesse caso o posto é 3 (menor que o número de incógnitas 4), portanto há infinitas soluções, parametrizadas por uma variável livre (por exemplo w). Para \alpha\neq 2 o sistema é incompatível (nenhuma solução).