Resolver o sistema homogêneo A\begin{pmatrix}w\x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} (ou seja, encontrar o espaço nulo de A).
Inverter a matriz de coeficientes A (ou justificar por que não é possível).
Passo 2
Método escolhido e porquê (breve):
Vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para colocar a matriz na forma de escada reduzida. Esse método resolve o sistema homogêneo e, em paralelo, permite verificar se A é invertível (se ao aplicar as operações elementares na matriz aumentada [A\mid I] for possível transformar a parte esquerda em I, então A^{-1} aparece à direita).
Se a redução produzir uma fila nula à esquerda (menos pivôs que dimensões), isso indica autovalores nulos/linearidade entre as linhas, o que implica que A é singular e não possui inversa. Sempre que o sistema homogêneo tiver solução não-trivial, a matriz é singular.
Passo 3
Construção da matriz aumentada [A\mid I] (vou aplicar as mesmas operações para o sistema homogêneo e para testar a invertibilidade):
Observação importante: a terceira linha já tem o lado esquerdo todo zero. Isso indica dependência linear entre as linhas originais (já começamos a ver que possivelmente não teremos 4 pivôs).]
Passo 6
Organizo os pivôs trocando R_3 com R_4 (colocar uma linha com pivô na posição correta):
Eliminação da coluna 4 nas linhas acima (R_1 e R_2):
R_1 := R_1 - \tfrac{2}{5}R_3.
R_2 := R_2 - \tfrac{9}{5}R_3.
Cálculos:
Lado esquerdo R_1: [1,0,1,\tfrac{2}{5}] - \tfrac{2}{5}[0,0,0,1] = [1,0,1,0].
Aug. direito R_1: [\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0,0] - \tfrac{2}{5}[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},0,\tfrac{1}{3}] = [\tfrac{8}{15},\tfrac{1}{15},0,-\tfrac{2}{15}].
Lado esquerdo R_2: [0,1,-1,\tfrac{9}{5}] - \tfrac{9}{5}[0,0,0,1] = [0,1,-1,0].
Aug. direito R_2: [-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0,0] - \tfrac{9}{5}[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},0,\tfrac{1}{3}] = [\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5},0,-\tfrac{3}{5}].
A matriz (lado esquerdo) agora está em forma escalonada reduzida nas primeiras três colunas, com a quarta coluna tendo pivô na linha 3. Matriz resultante:
A coluna 3 não tem pivô: isso significa que o posto (rank) de A é 3 (menor que 4), logo A é singular (não invertível).
Como o sistema é homogêneo, ter posto 3 em um espaço de dimensão 4 implica que a solução do sistema tem dimensão 4-3=1 (uma família de soluções com um parâmetro livre).
Além disso, a presença de uma linha totalmente nula à esquerda confirma que não é possível transformar A em I_4 por operações elementares: portanto, \;A^{-1} não existe.]
Passo 9
Determinar explicitamente o espaço nulo (solução do sistema homogêneo) a partir das equações equivalentes obtidas:
As linhas não-nulas à esquerda correspondem às equações
\begin{array}{l} \text{(i)}\quad w + y = 0,\\[4pt] \text{(ii)}\quad x - y = 0,\\[4pt] \text{(iii)}\quad z = 0. \end{array}
Da (iii) segue \;z=0.
Da (ii) segue \;x=y.
Da (i) segue \;w=-y.
Tomando y como parâmetro livre, ponha y=t com t\in\mathbb{R}. Então
w=-t,\qquad x=t,\qquad y=t,\qquad z=0.
Portanto todas as soluções são múltiplos do vetor (-1,1,1,0).]
Passo 10
Conclusões finais e resposta sobre a inversa:
O sistema homogêneo tem solução não-trivial unidimensional: (w,x,y,z)=t(-1,1,1,0), t\in\mathbb{R}.
Como existe solução não-trivial, a matriz A é singular (posto 3<4), logo \;A^{-1} não existe.
Resposta
(w,x,y,z)=t(-1,1,1,0),\\ t\in\mathbb{R}.
A matriz de coeficientes A é singular (posto 3), portanto não é invertível: A^{-1} não existe.